题目
样本 X_(1),X_(2),X_(3),X_(4) 取自正态分布总体 X，E(X)=mu 为已知，D(X)=sigma^2 未知，则下列随机变量中不能作为统计量的是（）. A. bar(X)=(1)/(4)sum_(i=1)^4X_(i) B. X_(1)+X_(4)-2mu C. sum_(i=1)^4(X_(i)-bar(X))^2 D. (bar(X)-mu)/(sigma)
样本 $X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}$ 取自正态分布总体 $X$，$E(X)=\mu$ 为已知，$D(X)=\sigma^{2}$ 未知，则下列随机变量中不能作为统计量的是（）.
A. $\bar{X}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}X_{i}$
B. $X_{1}+X_{4}-2\mu$
C. $\sum_{i=1}^{4}(X_{i}-\bar{X})^{2}$
D. $\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}$
A. $\bar{X}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}X_{i}$
B. $X_{1}+X_{4}-2\mu$
C. $\sum_{i=1}^{4}(X_{i}-\bar{X})^{2}$
D. $\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}$
题目解答
答案
统计量是样本的函数且不包含未知参数。已知 $E(X)=\mu$（已知），$D(X)=\sigma^2$（未知），分析各选项：
- **A**：$\bar{X} = \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{4} X_i$，仅含样本，无未知参数，是统计量。
- **B**：$X_1 + X_4 - 2\mu$，含样本和已知参数 $\mu$，是统计量。
- **C**：$\sum_{i=1}^{4} (X_i - \bar{X})^2$，仅含样本和样本均值，是统计量。
- **D**：$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}$，含未知参数 $\sigma$，非统计量。
答案：$\boxed{D}$
解析
统计量的定义：统计量是样本的函数，且不包含总体的未知参数。本题中，已知总体均值 $\mu$，方差 $\sigma^2$ 未知。因此，若选项中出现未知参数 $\sigma$，则该随机变量不是统计量。
关键点：
- 选项中是否包含未知参数 $\sigma$ 或 $\sigma^2$；
- 样本均值 $\bar{X}$ 和样本方差等统计量的构造是否合理。
选项分析
选项A
$\bar{X} = \frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}X_i$
- 仅依赖于样本 $X_1, X_2, X_3, X_4$，不含未知参数。
- 是统计量。
选项B
$X_1 + X_4 - 2\mu$
- 虽然包含 $\mu$，但 $\mu$ 是已知参数，等价于常数。
- 是统计量。
选项C
$\sum_{i=1}^{4}(X_i - \bar{X})^2$
- 依赖于样本 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 和样本均值 $\bar{X}$，均属于样本函数。
- 是统计量。
选项D
$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}$
- 分母 $\sigma$ 是未知参数（$\sigma^2$ 未知）。
- 不是统计量。