题目
9.设X1、X2、X3是3个随机变量,且 _(1)sim N(0,1), _(2)sim N(0,(2)^2) , _(3)sim N(0,(3)^2),-|||-_(i)=P(-2leqslant (X)_(j)leqslant 2), hat (j)=1,2,3, 证明: _(1)gt (P)_(2)gt (P)_(3)
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 ${P}_{1}$
${X}_{1}\sim N(0,1)$ , ${P}_{1}=P(-2\leqslant {X}_{1}\leqslant 2)$
根据标准正态分布的性质，${P}_{1}=\Phi (2)-\Phi (-2)=2\Phi (2)-1$ , 其中 $\Phi (x)$ 是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 2：计算 ${P}_{2}$
${X}_{2}\sim N({0,{2}^{2}})$ , ${P}_{2}=P(-2\leqslant {X}_{2}\leqslant 2)$
根据正态分布的性质，${P}_{2}=\Phi (\dfrac {2}{2})-\Phi (-\dfrac {2}{2})=2\Phi (1)-1$ , 其中 $\Phi (x)$ 是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 3：计算 ${P}_{3}$
${X}_{3}\sim N({0,{3}^{2})}$ , ${P}_{3}=P(-2\leqslant {X}_{3}\leqslant 2)$
根据正态分布的性质，${P}_{3}=\Phi (\dfrac {2}{3})-\Phi (-\dfrac {2}{3})=2\Phi (\dfrac {2}{3})-1$ , 其中 $\Phi (x)$ 是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 4：比较 ${P}_{1}$, ${P}_{2}$, ${P}_{3}$
由标准正态分布的分布函数特征，$\Phi (x)$ 是一个递增函数，因此 $\Phi (2) > \Phi (1) > \Phi (\dfrac {2}{3})$ , 从而得到 ${P}_{1} > {P}_{2} > {P}_{3}$ , 故得证。
${X}_{1}\sim N(0,1)$ , ${P}_{1}=P(-2\leqslant {X}_{1}\leqslant 2)$
根据标准正态分布的性质，${P}_{1}=\Phi (2)-\Phi (-2)=2\Phi (2)-1$ , 其中 $\Phi (x)$ 是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 2：计算 ${P}_{2}$
${X}_{2}\sim N({0,{2}^{2}})$ , ${P}_{2}=P(-2\leqslant {X}_{2}\leqslant 2)$
根据正态分布的性质，${P}_{2}=\Phi (\dfrac {2}{2})-\Phi (-\dfrac {2}{2})=2\Phi (1)-1$ , 其中 $\Phi (x)$ 是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 3：计算 ${P}_{3}$
${X}_{3}\sim N({0,{3}^{2})}$ , ${P}_{3}=P(-2\leqslant {X}_{3}\leqslant 2)$
根据正态分布的性质，${P}_{3}=\Phi (\dfrac {2}{3})-\Phi (-\dfrac {2}{3})=2\Phi (\dfrac {2}{3})-1$ , 其中 $\Phi (x)$ 是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 4：比较 ${P}_{1}$, ${P}_{2}$, ${P}_{3}$
由标准正态分布的分布函数特征，$\Phi (x)$ 是一个递增函数，因此 $\Phi (2) > \Phi (1) > \Phi (\dfrac {2}{3})$ , 从而得到 ${P}_{1} > {P}_{2} > {P}_{3}$ , 故得证。