题目
、erasure (11)erasure (-)dfrac (erasure {1)}(2)((x)_(1),(x)_(2),(x)_(3))-|||-(x)_(1)+b(x)_(2)+c(x)_(3)=0,-|||-((X)_(1))=E((X)_(2))=E((X)_(3))=d,-|||-((X)_(1))=Nar((X)_(2))=var((X)_(3))=(sigma )^2.-|||-其中a,b,c,d,σ^2均为常数,求相关系数ρ12,ρ23,ρ 13·-|||-39.设随机变量X与Y都只能取两个值,试证:X与Y独立与不相关是等价的.-|||-40.设随机变量X服从区间 (-0.5,0.5) 上的均匀分布, =cos X, 则X与Y有函数关系.试求Cov-|||-(X,Y).-|||-41.设二维随机变量(X,Y)服从单位圆内的均匀分布,其联合密度函数为-|||-p(x,y)= ,{x)^2+(y)^2lt 1 (x)^2+(y)^2geqslant 1 .-|||-试证X与Y不独立且X与Y不相关.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算相关系数
首先，根据题目条件，我们有 $a{X}_{1}+b{X}_{2}+c{X}_{3}=0$，$E({X}_{1})=E({X}_{2})=E({X}_{3})=d$，$V\arctan ({X}_{1})={V}_{n}({X}_{2})={V}_{n}({X}_{3})={\sigma }^{2}$。我们需要计算相关系数 ${\rho }_{12}$, ${\rho }_{23}$, ${\rho }_{13}$。
步骤 2：计算协方差
根据协方差的定义，我们有 $Cov(X_{i}, X_{j}) = E[(X_{i} - E(X_{i}))(X_{j} - E(X_{j}))]$。由于 $E(X_{i}) = d$，我们可以将协方差简化为 $Cov(X_{i}, X_{j}) = E[(X_{i} - d)(X_{j} - d)]$。
步骤 3：计算相关系数
根据相关系数的定义，我们有 ${\rho }_{ij} = \frac{Cov(X_{i}, X_{j})}{\sqrt{V(X_{i})V(X_{j})}}$。由于 $V(X_{i}) = V(X_{j}) = {\sigma }^{2}$，我们可以将相关系数简化为 ${\rho }_{ij} = \frac{Cov(X_{i}, X_{j})}{{\sigma }^{2}}$。
步骤 4：计算协方差的具体值
根据题目条件，我们有 $a{X}_{1}+b{X}_{2}+c{X}_{3}=0$。我们可以将这个条件转化为 $X_{1} = -\frac{b}{a}X_{2} - \frac{c}{a}X_{3}$。将这个表达式代入协方差的定义中，我们可以计算出 $Cov(X_{1}, X_{2})$ 和 $Cov(X_{1}, X_{3})$。然后，我们可以计算出 ${\rho }_{12}$ 和 ${\rho }_{13}$。
步骤 5：计算 ${\rho }_{23}$
由于题目条件没有直接给出 $X_{2}$ 和 $X_{3}$ 的关系，我们需要根据题目条件推导出 $X_{2}$ 和 $X_{3}$ 的关系。然后，我们可以计算出 $Cov(X_{2}, X_{3})$，从而计算出 ${\rho }_{23}$。
步骤 6：考虑特殊情况
当 $d=0$ 时，我们需要重新计算相关系数。由于 $E(X_{i}) = 0$，我们可以将协方差简化为 $Cov(X_{i}, X_{j}) = E(X_{i}X_{j})$。然后，我们可以计算出 ${\rho }_{12}$, ${\rho }_{23}$, ${\rho }_{13}$。
首先，根据题目条件，我们有 $a{X}_{1}+b{X}_{2}+c{X}_{3}=0$，$E({X}_{1})=E({X}_{2})=E({X}_{3})=d$，$V\arctan ({X}_{1})={V}_{n}({X}_{2})={V}_{n}({X}_{3})={\sigma }^{2}$。我们需要计算相关系数 ${\rho }_{12}$, ${\rho }_{23}$, ${\rho }_{13}$。
步骤 2：计算协方差
根据协方差的定义，我们有 $Cov(X_{i}, X_{j}) = E[(X_{i} - E(X_{i}))(X_{j} - E(X_{j}))]$。由于 $E(X_{i}) = d$，我们可以将协方差简化为 $Cov(X_{i}, X_{j}) = E[(X_{i} - d)(X_{j} - d)]$。
步骤 3：计算相关系数
根据相关系数的定义，我们有 ${\rho }_{ij} = \frac{Cov(X_{i}, X_{j})}{\sqrt{V(X_{i})V(X_{j})}}$。由于 $V(X_{i}) = V(X_{j}) = {\sigma }^{2}$，我们可以将相关系数简化为 ${\rho }_{ij} = \frac{Cov(X_{i}, X_{j})}{{\sigma }^{2}}$。
步骤 4：计算协方差的具体值
根据题目条件，我们有 $a{X}_{1}+b{X}_{2}+c{X}_{3}=0$。我们可以将这个条件转化为 $X_{1} = -\frac{b}{a}X_{2} - \frac{c}{a}X_{3}$。将这个表达式代入协方差的定义中，我们可以计算出 $Cov(X_{1}, X_{2})$ 和 $Cov(X_{1}, X_{3})$。然后，我们可以计算出 ${\rho }_{12}$ 和 ${\rho }_{13}$。
步骤 5：计算 ${\rho }_{23}$
由于题目条件没有直接给出 $X_{2}$ 和 $X_{3}$ 的关系，我们需要根据题目条件推导出 $X_{2}$ 和 $X_{3}$ 的关系。然后，我们可以计算出 $Cov(X_{2}, X_{3})$，从而计算出 ${\rho }_{23}$。
步骤 6：考虑特殊情况
当 $d=0$ 时，我们需要重新计算相关系数。由于 $E(X_{i}) = 0$，我们可以将协方差简化为 $Cov(X_{i}, X_{j}) = E(X_{i}X_{j})$。然后，我们可以计算出 ${\rho }_{12}$, ${\rho }_{23}$, ${\rho }_{13}$。