题目

某商店每周售出的某种贵重商品的数量服从泊松分布P(2).每周售出该商品的数量是独立的,用中心极限定理估算50周内至少卖出120件该商品的概率。

题目解答

答案

解：设 $X_i$ 为第i周售出的某种贵重商品的数量，i=1，2····，50，∴ $X_i\sim P(2)$ ∵ $X_i$ 之间相互独立，根据泊松分布的可加性∴ $\sum^{50}_{i=1}X_i\sim P(100)$

∴ $E(\sum_{i=1}^{50}X_i)=100,D(\sum_{i=1}^{50}X_i)=100$

根据中心极限定理：

$P\left \{ {\sum_{i=1}^{50}X_i\ge120} \right \}=1-P\left \{ {\sum_{i=1}^{50}X_i<120} \right \}$

$=1-P\left\{\frac{\sum_{i=1}^{50}X_i-100}{\sqrt{10}}<\frac{120-100}{\sqrt{100}}\right\}$

$=1-\phi(2)=1-0.9772=0.0228$

∴50周内至少卖出120件该商品的概率为0.0228。

解析

考查要点：本题主要考查泊松分布的性质、独立随机变量和的分布以及中心极限定理的应用。
解题核心思路：

泊松分布的可加性：每周销售量服从泊松分布，50周总销售量服从参数为总和的泊松分布。
中心极限定理：当样本量较大时，总和的分布可用正态分布近似。
标准化转换：将总和转化为标准正态变量，利用标准正态分布表计算概率。
破题关键点：

明确总销售量的期望和方差。
正确进行标准化处理，注意分母为标准差。
理解“至少卖出120件”对应的概率表达式转换。

设第$i$周售出的商品数量为$X_i$，则$X_i \sim P(2)$，且各周销售量独立。
根据泊松分布的可加性，50周总销售量$S = \sum_{i=1}^{50} X_i \sim P(100)$。
应用中心极限定理：
当$n$较大时，$S$近似服从正态分布$N(E(S), D(S))$，其中：

$E(S) = \sum_{i=1}^{50} E(X_i) = 50 \times 2 = 100$
$D(S) = \sum_{i=1}^{50} D(X_i) = 50 \times 2 = 100$

标准化处理：
将$S$标准化为$Z = \frac{S - 100}{\sqrt{100}} = \frac{S - 100}{10}$，则$Z \sim N(0,1)$。
概率计算：
$\begin{aligned}P(S \geq 120) &= 1 - P(S < 120) \\&= 1 - P\left(\frac{S - 100}{10} < \frac{120 - 100}{10}\right) \\&= 1 - \Phi(2) \\&= 1 - 0.9772 = 0.0228\end{aligned}$