7.设总体 sim U(0,2theta ), 其中 theta gt 0 是未知参数,x1,x2,···xn为取自该总体的样本,x为样本均值.-|||-(2)求θ的最大似然估计,它是无偏估计吗?是相合估计吗?

步骤 1：写出似然函数
由于 $X\sim U(\theta ,2\theta )$，其概率密度函数为
$$
f(x|\theta) = \begin{cases}
\frac{1}{\theta}, & \theta \leq x \leq 2\theta \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
对于样本 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，似然函数为
$$
L(\theta|x_1, x_2, \ldots, x_n) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i|\theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} = \frac{1}{\theta^n}
$$
其中，$\theta \leq x_i \leq 2\theta$ 对于所有 $i=1,2,\ldots,n$ 成立。

步骤 2：确定最大似然估计
为了使似然函数最大，需要 $\theta$ 尽可能小，但同时满足 $\theta \leq x_i \leq 2\theta$ 对于所有 $i=1,2,\ldots,n$ 成立。因此，$\theta$ 的最大似然估计为
$$
\hat{\theta} = \frac{1}{2} \min(x_1, x_2, \ldots, x_n)
$$
步骤 3：判断无偏性和相合性
无偏性：计算 $\hat{\theta}$ 的期望值
$$
E(\hat{\theta}) = E\left(\frac{1}{2} \min(x_1, x_2, \ldots, x_n)\right)
$$
由于 $X\sim U(\theta ,2\theta )$，$\min(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 的期望值为 $\theta$，因此
$$
E(\hat{\theta}) = \frac{1}{2} \theta \neq \theta
$$
所以，$\hat{\theta}$ 不是无偏估计。
相合性：根据大数定律，当样本量 $n$ 趋于无穷大时，$\hat{\theta}$ 会趋于 $\theta$，因此 $\hat{\theta}$ 是相合估计。