题目
7、设样本x1,x2,x3,x4为来自总体N(0,1)的样本, =({X)_(1)}^2+C(({X)_(2)+(X)_(3)+(X)_(4))}^2, 若-|||-Y服从自由度为2的x^2分布,则 =underline (113)
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解问题背景
样本X1, X2, X3, X4是从总体N(0,1)中抽取的，即每个样本都服从标准正态分布。我们需要找到一个常数C，使得Y服从自由度为2的卡方分布。
步骤 2：分析Y的分布
Y由两部分组成：${{X}_{1}}^{2}$和$C{({X}_{2}+{X}_{3}+{X}_{4})}^{2}$。由于X1, X2, X3, X4都服从标准正态分布，${{X}_{1}}^{2}$服从自由度为1的卡方分布。我们需要确定C的值，使得$C{({X}_{2}+{X}_{3}+{X}_{4})}^{2}$也服从自由度为1的卡方分布，这样Y的自由度就是2。
步骤 3：确定C的值
${X}_{2}+{X}_{3}+{X}_{4}$服从N(0,3)的正态分布，因为X2, X3, X4都是独立的N(0,1)分布。为了使$C{({X}_{2}+{X}_{3}+{X}_{4})}^{2}$服从自由度为1的卡方分布，我们需要将${X}_{2}+{X}_{3}+{X}_{4}$标准化，即除以其标准差$\sqrt{3}$。因此，$C{({X}_{2}+{X}_{3}+{X}_{4})}^{2}$需要等于$\frac{1}{3}{({X}_{2}+{X}_{3}+{X}_{4})}^{2}$，这样它就服从自由度为1的卡方分布。因此，C=1/3。
样本X1, X2, X3, X4是从总体N(0,1)中抽取的，即每个样本都服从标准正态分布。我们需要找到一个常数C，使得Y服从自由度为2的卡方分布。
步骤 2：分析Y的分布
Y由两部分组成：${{X}_{1}}^{2}$和$C{({X}_{2}+{X}_{3}+{X}_{4})}^{2}$。由于X1, X2, X3, X4都服从标准正态分布，${{X}_{1}}^{2}$服从自由度为1的卡方分布。我们需要确定C的值，使得$C{({X}_{2}+{X}_{3}+{X}_{4})}^{2}$也服从自由度为1的卡方分布，这样Y的自由度就是2。
步骤 3：确定C的值
${X}_{2}+{X}_{3}+{X}_{4}$服从N(0,3)的正态分布，因为X2, X3, X4都是独立的N(0,1)分布。为了使$C{({X}_{2}+{X}_{3}+{X}_{4})}^{2}$服从自由度为1的卡方分布，我们需要将${X}_{2}+{X}_{3}+{X}_{4}$标准化，即除以其标准差$\sqrt{3}$。因此，$C{({X}_{2}+{X}_{3}+{X}_{4})}^{2}$需要等于$\frac{1}{3}{({X}_{2}+{X}_{3}+{X}_{4})}^{2}$，这样它就服从自由度为1的卡方分布。因此，C=1/3。