(7)设随机变量 sim N(0,1), 则 (X(e)^2X)= __

考查要点：本题主要考查标准正态分布的矩母函数及其导数的应用，以及利用变量替换法计算期望值。

解题核心思路：

1. 矩母函数的导数性质：通过求矩母函数的导数，将问题转化为已知的期望表达式。
2. 变量替换法：通过调整指数项的指数部分，将其转化为标准正态分布的积分形式，简化计算。

破题关键点：

• 关键公式：标准正态分布的矩母函数为 $M(t) = E(e^{tX}) = e^{t^2/2}$。
• 导数操作：对矩母函数求导可直接得到 $E(Xe^{tX})$，从而避免直接计算复杂积分。

步骤1：利用矩母函数的导数性质
标准正态分布 $X \sim N(0,1)$ 的矩母函数为：
$M(t) = E(e^{tX}) = e^{t^2/2}$
对 $t$ 求导得：
$M'(t) = \frac{d}{dt} E(e^{tX}) = E\left( \frac{d}{dt} e^{tX} \right) = E(Xe^{tX})$
因此，
$E(Xe^{tX}) = \frac{d}{dt} e^{t^2/2} = te^{t^2/2}$

步骤2：代入 $t=2$
题目中要求 $E(Xe^{2X})$，即令 $t=2$，得：
$E(Xe^{2X}) = 2e^{(2)^2/2} = 2e^{2}$