(7)设随机变量 sim N(0,1), 则 (X(e)^2X)= __

步骤 1：确定随机变量的分布
随机变量 $X$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$，即 $X$ 的概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$。

步骤 2：计算期望值
期望值 $E(Xe^{2X})$ 可以通过积分计算，即
$$E(Xe^{2X}) = \int_{-\infty}^{\infty} x e^{2x} f(x) dx = \int_{-\infty}^{\infty} x e^{2x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} dx$$
$$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} x e^{2x - \frac{x^2}{2}} dx$$
$$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} x e^{-\frac{x^2 - 4x}{2}} dx$$
$$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} x e^{-\frac{(x-2)^2 - 4}{2}} dx$$
$$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^2 \int_{-\infty}^{\infty} x e^{-\frac{(x-2)^2}{2}} dx$$
$$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^2 \int_{-\infty}^{\infty} (y+2) e^{-\frac{y^2}{2}} dy$$
其中，令 $y = x - 2$，则 $dy = dx$，且积分区间不变。
$$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^2 \left( \int_{-\infty}^{\infty} y e^{-\frac{y^2}{2}} dy + 2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{y^2}{2}} dy \right)$$
$$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^2 \left( 0 + 2 \sqrt{2\pi} \right)$$
$$= 2e^2$$
其中，$\int_{-\infty}^{\infty} y e^{-\frac{y^2}{2}} dy = 0$，因为被积函数是奇函数，积分区间关于原点对称；$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{y^2}{2}} dy = \sqrt{2\pi}$，这是标准正态分布的积分结果。