题目

设样本_(1),(X)_(2),(X)_(3)... ,(X)_(n)，来自正态总体_(1),(X)_(2),(X)_(3)... ,(X)_(n) ，则下列说法不正确的是（）A、_(1),(X)_(2),(X)_(3)... ,(X)_(n)的分布与总体分布一致B、对于总体期望值，_(1),(X)_(2),(X)_(3)... ,(X)_(n)是比_(1),(X)_(2),(X)_(3)... ,(X)_(n)更有效的点估计量C、_(1),(X)_(2),(X)_(3)... ,(X)_(n)是总体方差的无偏估计量D、_(1),(X)_(2),(X)_(3)... ,(X)_(n)与_(1),(X)_(2),(X)_(3)... ,(X)_(n)相对独立

设样本 $X _ 1 , X _ 2 , X _ 3 , \dots , X _ n$ ，来自正态总体 $X$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $\overline X$ 的分布与总体分布一致

B、对于总体期望值， $\overline X$ 是比 $X _ i , i = 1 , 2 , 3 , \dots . n$ 更有效的点估计量

C、 $S ^ 2$ 是总体方差的无偏估计量

D、 $\overline X$ 与 $S ^ 2$ 相对独立

题目解答

答案

对于A选项，易得 $\overline{X} =\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{n}$

因为 $X _ 1 , X _ 2 , X _ 3 , \dots , X _ n$ 是来自正态总体 $X$ 的样本

所以 $X _ 1 , X _ 2 , X _ 3 , \dots , X _ n$ 独立同分布且 $X_i\sim N(\mu ,\sigma^2),i=1,2,3,\dots,n$

所以 $\sum_{i=1}^nX_i\sim N(n\mu ,n\sigma^2)$

所以 $\frac{\sum_{i=1}^nX_i}{n}\sim N(\mu ,\frac{\sigma^2}{n})$ ，即 $\overline{X}\sim N(\mu ,\frac{\sigma^2}{n})$

综上， $\overline X$ 的分布与总体分布不一致，A选项表述错误。

对于B选项，由A选项可知， $\overline{X}\sim N(\mu ,\frac{\sigma^2}{n})$ 且 $X_i\sim N(\mu ,\sigma^2),i=1,2,3,\dots,n$

所以 $E(\overline{X})=\mu,D(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n},D(X_i)=\sigma^2$

由 $\overline X$ 的期望可知， $\overline X$ 是总体均值 $\mu$ 的无偏估计量。

因为 $\frac{\sigma^2}{n} <\sigma ^2$ ，即 $D(\overline{X})<D(X_i)$

综上，对于总体期望值， $\overline X$ 是比 $X _ i , i = 1 , 2 , 3 , \dots . n$ 更有效的点估计量。B选项正确。

对于C选项，已知 $S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$

因为样本 $X _ 1 , X _ 2 , X _ 3 , \dots , X _ n$ ，来自正态总体 $X$

所以 $E(S^2)=D(X)$

又因为 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$

所以 $D(X)=\sigma^2$

综上， $E(S^2)=\sigma^2$ ，即 $S ^ 2$ 是总体方差的无偏估计量。C选项正确。

对于D选项，因为 $X _ 1 , X _ 2 , X _ 3 , \dots , X _ n$ ，来自正态总体 $X$ 样本

所以 $\overline X$ 与 $S ^ 2$ 相对独立

综上， $\overline X$ 与 $S ^ 2$ 相对独立，D选项正确。

因此，本题选A选项。

解析

考查要点：本题主要考查正态总体样本均值与方差的性质，包括分布特征、无偏性、有效性及独立性。

解题核心思路：

样本均值的分布：正态总体下，样本均值的分布与总体分布的差异。
估计量的有效性：通过方差比较不同估计量的效率。
无偏估计量：验证样本方差的计算公式是否满足无偏性。
独立性：正态总体下样本均值与样本方差的独立性。

破题关键点：

选项A：明确样本均值的分布与总体分布的方差不同。
选项B：比较样本均值与单个样本的方差大小。
选项C：利用无偏性定义验证样本方差公式。
选项D：正态分布下样本均值与样本方差的独立性定理。

选项A分析

样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$ 的分布为：
$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$
而总体分布为 $N(\mu, \sigma^2)$。方差不同，因此 $\overline{X}$ 的分布与总体分布不一致，选项A错误。

选项B分析

样本均值 $\overline{X}$ 的方差为 $\frac{\sigma^2}{n}$，单个样本 $X_i$ 的方差为 $\sigma^2$。
方差更小说明 $\overline{X}$ 是更有效的估计量，选项B正确。

选项C分析

样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$ 的期望为：
$E(S^2) = \sigma^2$
满足无偏性，选项C正确。

选项D分析

在正态总体下，样本均值 $\overline{X}$ 与样本方差 $S^2$ 独立，选项D正确。