题目
设独立随机变量ξ1 ,ξ2,···,S100均服从参数为 lambda =4 的泊松分布,试用中心极限定理确定概率-|||-PZ5
题目解答
答案
0.8413
解析
步骤 1：确定随机变量的期望和方差
由于随机变量 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{100}$ 均服从参数为 $\lambda = 4$ 的泊松分布，因此每个随机变量的期望和方差均为 $\lambda = 4$。即 $E(\xi_i) = 4$ 和 $Var(\xi_i) = 4$。
步骤 2：计算总和的期望和方差
设 $S_{100} = \xi_1 + \xi_2 + \cdots + \xi_{100}$，则 $S_{100}$ 的期望和方差分别为：
$$E(S_{100}) = E(\xi_1) + E(\xi_2) + \cdots + E(\xi_{100}) = 100 \times 4 = 400$$
$$Var(S_{100}) = Var(\xi_1) + Var(\xi_2) + \cdots + Var(\xi_{100}) = 100 \times 4 = 400$$
步骤 3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当 $n$ 足够大时，$S_{100}$ 的分布近似于正态分布 $N(400, 400)$。因此，我们可以将 $S_{100}$ 标准化为标准正态分布 $Z$，即：
$$Z = \frac{S_{100} - 400}{\sqrt{400}} = \frac{S_{100} - 400}{20}$$
我们需要计算 $P(S_{100} < 420)$，即 $P(Z < \frac{420 - 400}{20}) = P(Z < 1)$。
步骤 4：查找标准正态分布表
根据题目给出的数据，$\Phi(1) = 0.8413$，即 $P(Z < 1) = 0.8413$。
由于随机变量 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{100}$ 均服从参数为 $\lambda = 4$ 的泊松分布，因此每个随机变量的期望和方差均为 $\lambda = 4$。即 $E(\xi_i) = 4$ 和 $Var(\xi_i) = 4$。
步骤 2：计算总和的期望和方差
设 $S_{100} = \xi_1 + \xi_2 + \cdots + \xi_{100}$，则 $S_{100}$ 的期望和方差分别为：
$$E(S_{100}) = E(\xi_1) + E(\xi_2) + \cdots + E(\xi_{100}) = 100 \times 4 = 400$$
$$Var(S_{100}) = Var(\xi_1) + Var(\xi_2) + \cdots + Var(\xi_{100}) = 100 \times 4 = 400$$
步骤 3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当 $n$ 足够大时，$S_{100}$ 的分布近似于正态分布 $N(400, 400)$。因此，我们可以将 $S_{100}$ 标准化为标准正态分布 $Z$，即：
$$Z = \frac{S_{100} - 400}{\sqrt{400}} = \frac{S_{100} - 400}{20}$$
我们需要计算 $P(S_{100} < 420)$，即 $P(Z < \frac{420 - 400}{20}) = P(Z < 1)$。
步骤 4：查找标准正态分布表
根据题目给出的数据，$\Phi(1) = 0.8413$，即 $P(Z < 1) = 0.8413$。