题目

1.26 设总体X-N(μ，σ²)，σ²未知，且X_(1)，X_(2)，...，X_(n)为其样本均值，S为样本标准差，则对于假设检验问题H_(0)：μ=μ_(0)＜＞H_(1)：μ≠μ_(0)，应选用的统计量是bigcirc(x-mu_(0))/(frac(S){sqrt(n))}bigcirc(x-mu_(0))/(frac(s){sqrt(n-1))}bigcirc(x-mu_(0))/(frac(S){sqrt(n-1))}bigcirc(x-mu_(0))/(frac(S){sqrt(n))}

1.26 设总体X-N(μ，σ²)，σ²未知，且$X_{1}，X_{2}，\cdots，X_{n}$为其样本均值，S为样本标准差，则对于假设检验问题$H_{0}：μ=μ_{0}＜＞H_{1}：μ≠μ_{0}$，应选用的统计量是 $\bigcirc\frac{x-\mu_{0}}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$ $\bigcirc\frac{x-\mu_{0}}{\frac{s}{\sqrt{n-1}}}$ $\bigcirc\frac{x-\mu_{0}}{\frac{S}{\sqrt{n-1}}}$ $\bigcirc\frac{x-\mu_{0}}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$

题目解答

答案

当总体方差未知时，检验均值的统计量为 t 统计量，形式为： \[ t = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}} \] 其中，$\overline{X}$ 为样本均值，$\mu_0$ 为假设均值，$S$ 为样本标准差，$n$ 为样本量。该统计量服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布。 选项分析： - 选项 A：$\frac{\overline{X} - \mu_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$，符合 t 统计量标准形式。 - 选项 B：分母为 $\frac{s}{\sqrt{n-1}}$，不符合标准形式。 - 选项 C：分母为 $\frac{S}{\sqrt{n-1}}$，不符合标准形式。 - 选项 D：分子使用小写字母 $x$，表示具体观测值，不适用于假设检验。 因此，应选用的统计量为选项 A。 \[ \boxed{A} \]

解析

考查要点：本题主要考查假设检验中总体方差未知时的t检验统计量构造，需要明确区分不同统计量的适用条件及公式形式。

解题核心思路：

  1. 判断检验类型：题目为双侧检验（$H_1: \mu \neq \mu_0$），且总体方差$\sigma^2$未知，因此需使用t检验。
  2. t统计量公式：构造形式为$\frac{\overline{X} - \mu_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$，其中$\overline{X}$为样本均值，$S$为样本标准差，$n$为样本量。
  3. 关键辨析点：
    • 分母应为$\frac{S}{\sqrt{n}}$（标准误的估计），而非$\frac{S}{\sqrt{n-1}}$。
    • 分子必须使用样本均值$\overline{X}$，而非单个观测值$x$。

选项分析

选项A：$\frac{\overline{X} - \mu_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$

  • 正确。符合t检验统计量的标准形式，分母为样本标准差$S$除以$\sqrt{n}$，分子为样本均值与假设均值的差。

选项B：$\frac{\overline{X} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n-1}}}$

  • 错误。分母中的$\sqrt{n-1}$是样本标准差$S$的计算因子，但t统计量的标准误应为$\frac{S}{\sqrt{n}}$，而非$\frac{S}{\sqrt{n-1}}$。

选项C：$\frac{\overline{X} - \mu_0}{\frac{S}{\sqrt{n-1}}}$

  • 错误。分母形式错误，同理于选项B，混淆了标准差计算与标准误的估计。

选项D：$\frac{x - \mu_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$

  • 错误。分子中的$x$表示单个观测值，而非样本均值$\overline{X}$，无法用于假设检验。