题目
4.设(X_(1),X_(2),...,X_(n))是取自总体X的一个样本，X的密度函数为f(x;theta)=}theta c^thetax^-(theta+1),x>c,0,xleq c,其中c>0且c为已知常数，theta>1且theta为未知参数.(x_(1),x_(2),...,x_(n))是样本的一组观测值.求theta的矩估计量hat(theta)_(1)和极大似然估计量hat(theta)_(2).
4.设$(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$是取自总体X的一个样本，X的密度函数为
$f(x;\theta)=\begin{cases}\theta c^{\theta}x^{-(\theta+1)},x>c,\\0,x\leq c,\end{cases}$
其中$c>0$且c为已知常数，$\theta>1$且$\theta$为未知参数.$(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$是样本的一组观测值.求$\theta$的矩估计量$\hat{\theta}_{1}$和极大似然估计量$\hat{\theta}_{2}$.
题目解答
答案
**矩估计量：**
计算期望 $E(X) = \frac{\theta c}{\theta - 1}$，令其等于样本均值 $\overline{X}$，解得
$$
\hat{\theta}_1 = \frac{\overline{X}}{\overline{X} - c}.
$$
**极大似然估计量：**
似然函数 $L(\theta) = \theta^n c^{n\theta} \prod x_i^{-(\theta+1)}$，取对数并求导得
$$
\frac{d \ell(\theta)}{d \theta} = \frac{n}{\theta} + n \ln c - \sum \ln x_i = 0,
$$
解得
$$
\hat{\theta}_2 = \frac{n}{\sum \ln x_i - n \ln c} = \frac{1}{\overline{\ln X} - \ln c}.
$$
**答案：**
$$
\boxed{\hat{\theta}_1 = \frac{\overline{X}}{\overline{X} - c}, \quad \hat{\theta}_2 = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i - n \ln c}}
$$
解析
步骤 1：矩估计量
计算期望 $E(X)$，令其等于样本均值 $\overline{X}$，解得 $\hat{\theta}_1$。
步骤 2：极大似然估计量
写出似然函数 $L(\theta)$，取对数并求导，解得 $\hat{\theta}_2$。
计算期望 $E(X)$，令其等于样本均值 $\overline{X}$，解得 $\hat{\theta}_1$。
步骤 2：极大似然估计量
写出似然函数 $L(\theta)$，取对数并求导，解得 $\hat{\theta}_2$。