题目

38 填空 (2分) 若随机变量X~U(0,6)，则E(X²)=____。

38 填空 (2分) 若随机变量X~U(0,6)，则E(X²)=____。

题目解答

答案

为了找到随机变量 $ X $ 的 $ E(X^2) $ 的值，其中 $ X $ 服从均匀分布 $ U(0,6) $，我们首先回顾连续随机变量的函数的期望值的定义。对于随机变量 $ X $ 的函数 $ g(X) $，其期望值 $ E(g(X)) $ 由下式给出： \[ E(g(X)) = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) \, dx \] 其中 $ f(x) $ 是 $ X $ 的概率密度函数。对于均匀分布 $ U(0,6) $，概率密度函数 $ f(x) $ 为： \[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{6} & \text{对于 } 0 \leq x \leq 6 \\ 0 & \text{其他情况} \end{cases} \] 在这个问题中，$ g(X) = X^2 $，因此我们需要计算： \[ E(X^2) = \int_{0}^{6} x^2 \cdot \frac{1}{6} \, dx \] 我们可以从积分中提取常数 $ \frac{1}{6} $： \[ E(X^2) = \frac{1}{6} \int_{0}^{6} x^2 \, dx \] 接下来，我们计算积分 $ \int_{0}^{6} x^2 \, dx $。$ x^2 $ 的反导数是 $ \frac{x^3}{3} $，因此我们有： \[ \int_{0}^{6} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{6} = \frac{6^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{216}{3} = 72 \] 现在，我们将这个结果代回 $ E(X^2) $ 的表达式中： \[ E(X^2) = \frac{1}{6} \cdot 72 = 12 \] 因此，$ E(X^2) $ 的值为： \[ \boxed{12} \]

解析

考查要点：本题主要考查均匀分布的期望计算，特别是对随机变量平方的期望值的求解方法。

解题核心思路：
对于均匀分布$U(a,b)$，其概率密度函数为$f(x) = \frac{1}{b-a}$在区间$[a,b]$上。计算$E(X^2)$时，需利用期望的积分定义，即：
$E(X^2) = \int_{a}^{b} x^2 \cdot f(x) \, dx$
通过直接计算定积分即可得到结果。

破题关键点：

  1. 正确写出均匀分布的概率密度函数；
  2. 正确应用期望的积分公式，将$x^2$与密度函数相乘后积分；
  3. 准确计算定积分，注意积分上下限和原函数的推导。

随机变量$X$服从均匀分布$U(0,6)$，其概率密度函数为：
$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{6} & 0 \leq x \leq 6, \\0 & \text{其他情况}.\end{cases}$

根据期望的定义，计算$E(X^2)$：
$E(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) \, dx = \int_{0}^{6} x^2 \cdot \frac{1}{6} \, dx.$

步骤分解：

  1. 提取常数项：将$\frac{1}{6}$提出积分号外：
    $E(X^2) = \frac{1}{6} \int_{0}^{6} x^2 \, dx.$
  2. 计算积分：求$x^2$的原函数$\frac{x^3}{3}$，代入上下限：
    $\int_{0}^{6} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{6} = \frac{6^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{216}{3} = 72.$
  3. 代入结果：将积分结果乘以$\frac{1}{6}$：
    $E(X^2) = \frac{1}{6} \cdot 72 = 12.$