2.设F(x)是随机变量X的分布函数，则下列结论不一定成立的是A. F(x)是单调不减函数B. F(x)取值在[0,1]内C. F(x)为连续函数D. F(-∞)=0,F(+∞)=1

分布函数 $F(x)$ 的核心性质包括：

1. 单调不减：随 $x$ 增大，概率非减；
2. 取值范围：$F(x) \in [0,1]$；
3. 右连续性：可能存在跳跃间断点（如离散型）；
4. 极限值：$\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$，$\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$。

关键点：

• 连续性取决于随机变量类型。连续型分布函数连续，但离散型分布函数为阶梯函数，存在跳跃间断点，因此 连续性不一定成立。

选项分析

A. $F(x)$ 是单调不减函数

由定义 $F(x) = P(X \leq x)$，当 $x_1 < x_2$ 时，$\{X \leq x_1\} \subseteq \{X \leq x_2\}$，故 $F(x_1) \leq F(x_2)$，一定成立。

B. $F(x)$ 取值在 $[0,1]$ 内

概率值天然满足 $0 \leq P(X \leq x) \leq 1$，一定成立。

C. $F(x)$ 为连续函数

• 连续型随机变量（如正态分布）的分布函数连续；
• 离散型随机变量（如掷骰子）的分布函数为阶梯函数，存在跳跃间断点（如 $x=1,2,\dots,6$ 处），不连续。
  因此，不一定成立。

D. $F(-\infty)=0$，$F(+\infty)=1$

• $x \to -\infty$ 时，$P(X \leq x) = 0$；
• $x \to +\infty$ 时，$P(X \leq x) = 1$，一定成立。