5.已知总体X的概率密度为-|||-f(x)= {e)^-dfrac ({x^2)(2theta )},xgt 0, 0,xleqslant 0, .-|||-其中 theta gt 0 且为未知参数.X1,X 2,···,Xn为总体X的简单样本.求θ的最大似然估计量,-|||-并讨论该估计量是否为θ的无偏估计量.

步骤 1：写出似然函数
似然函数是基于样本数据的联合概率密度函数，对于给定的样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$，似然函数为：
$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i; \theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{X_i}{\theta} e^{-\frac{X_i^2}{2\theta}}
$$
步骤 2：对似然函数取对数
为了简化计算，我们对似然函数取对数，得到对数似然函数：
$$
\ln L(\theta) = \sum_{i=1}^{n} \ln \left( \frac{X_i}{\theta} e^{-\frac{X_i^2}{2\theta}} \right) = \sum_{i=1}^{n} \left( \ln X_i - \ln \theta - \frac{X_i^2}{2\theta} \right)
$$
步骤 3：求导数并令其等于0
为了找到最大似然估计量，我们需要对对数似然函数关于 $\theta$ 求导，并令导数等于0：
$$
\frac{\partial \ln L(\theta)}{\partial \theta} = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{2\theta^2} \sum_{i=1}^{n} X_i^2 = 0
$$
步骤 4：求解 $\theta$
解上述方程，得到 $\theta$ 的最大似然估计量：
$$
\theta = \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2
$$
步骤 5：讨论无偏性
为了判断 $\theta$ 的最大似然估计量是否为无偏估计量，我们需要计算其期望值：
$$
E(\hat{\theta}) = E\left( \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2 \right) = \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i^2)
$$
由于 $X_i$ 的概率密度函数为 $f(x)$，我们可以计算 $E(X_i^2)$：
$$
E(X_i^2) = \int_{0}^{\infty} x^2 f(x) dx = \int_{0}^{\infty} x^2 \frac{x}{\theta} e^{-\frac{x^2}{2\theta}} dx = \theta
$$
因此，我们有：
$$
E(\hat{\theta}) = \frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{n} \theta = \theta
$$
这表明 $\theta$ 的最大似然估计量是无偏估计量。