25.某人下午5:00下班,他所积累的资料表明:到家时间 :35sim 5:39 :40sim 5:44 :45sim 5:49 .:50sim 5:54 迟于5:54-|||-乘地铁的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05-|||-乘汽车的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车,结果他是5:47到家的.试求他乘地铁回家的概率.

考查要点：本题主要考查贝叶斯定理的应用，涉及条件概率的计算。需要根据已知的先验概率和似然概率，计算后验概率。

解题核心思路：

1. 明确事件定义：确定“乘地铁”、“乘汽车”和“到家时间”之间的关系。
2. 提取关键概率：根据题目给出的表格，找到对应时间区间的条件概率。
3. 应用贝叶斯公式：通过先验概率和条件概率，计算后验概率。

破题关键点：

• 正确识别时间区间：5:47属于5:45-5:49的区间，对应地铁概率0.45，汽车概率0.20。
• 先验概率的确定：抛硬币决定交通方式，故地铁和汽车的先验概率均为$\dfrac{1}{2}$。

事件定义：

• $A$：乘地铁回家
• $B$：乘汽车回家
• $C$：5:47到家

已知条件：

• $P(C|A) = 0.45$（地铁在5:45-5:49区间的概率）
• $P(C|B) = 0.20$（汽车在5:45-5:49区间的概率）
• $P(A) = P(B) = \dfrac{1}{2}$（抛硬币决定交通方式）

贝叶斯公式：
$P(A|C) = \frac{P(C|A)P(A)}{P(C)}$
其中，分母$P(C)$可通过全概率公式展开：
$P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B)$

代入计算：

1. 分子：
   $P(C|A)P(A) = 0.45 \times \dfrac{1}{2} = 0.225$
2. 分母：
   $P(C) = 0.45 \times \dfrac{1}{2} + 0.20 \times \dfrac{1}{2} = 0.225 + 0.10 = 0.325$
3. 后验概率：
   $P(A|C) = \frac{0.225}{0.325} = \frac{9}{13}$