题目
设 X sim N(1,1^2)，其密度函数为 f(x)，分布函数为 F(x)，则（）A. p(X leq 1)= p(X geq 1)= 0.5B. f(x)= f(-x)，x in (-infty, +infty)C. F(x)= 1 - F(-x)，x in (-infty, +infty)D. p(X leq 0)= p(X geq 0)= (1)/(2)
设 $X \sim N(1,1^2)$，其密度函数为 $f(x)$，分布函数为 $F(x)$，则（）
A. $p(X \leq 1)= p(X \geq 1)= 0.5$
B. $f(x)= f(-x)$，$x \in (-\infty, +\infty)$
C. $F(x)= 1 - F(-x)$，$x \in (-\infty, +\infty)$
D. $p(X \leq 0)= p(X \geq 0)= \frac{1}{2}$
题目解答
答案
A. $p(X \leq 1)= p(X \geq 1)= 0.5$
解析
步骤 1：理解正态分布的性质
正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 关于其均值 $\mu$ 对称。对于 $X \sim N(1, 1^2)$，均值 $\mu = 1$，标准差 $\sigma = 1$。因此，$X$ 的分布关于 $x = 1$ 对称。
步骤 2：分析选项 A
由于 $X$ 的分布关于 $x = 1$ 对称，$P(X \leq 1)$ 和 $P(X \geq 1)$ 都等于分布的一半，即 $0.5$。因此，选项 A 正确。
步骤 3：分析选项 B
密度函数 $f(x)$ 的形式为 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-1)^2}{2}}$。由于 $f(x)$ 关于 $x = 1$ 对称，$f(x) \neq f(-x)$，因此选项 B 错误。
步骤 4：分析选项 C
分布函数 $F(x)$ 关于 $x = 1$ 对称，但 $F(x) = 1 - F(-x)$ 仅在标准正态分布（均值为0）时成立。因此，选项 C 错误。
步骤 5：分析选项 D
由于 $X$ 的均值为1，分布不对称于0，$P(X \leq 0) \neq P(X \geq 0) \neq \frac{1}{2}$。因此，选项 D 错误。
正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 关于其均值 $\mu$ 对称。对于 $X \sim N(1, 1^2)$，均值 $\mu = 1$，标准差 $\sigma = 1$。因此，$X$ 的分布关于 $x = 1$ 对称。
步骤 2：分析选项 A
由于 $X$ 的分布关于 $x = 1$ 对称，$P(X \leq 1)$ 和 $P(X \geq 1)$ 都等于分布的一半，即 $0.5$。因此，选项 A 正确。
步骤 3：分析选项 B
密度函数 $f(x)$ 的形式为 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-1)^2}{2}}$。由于 $f(x)$ 关于 $x = 1$ 对称，$f(x) \neq f(-x)$，因此选项 B 错误。
步骤 4：分析选项 C
分布函数 $F(x)$ 关于 $x = 1$ 对称，但 $F(x) = 1 - F(-x)$ 仅在标准正态分布（均值为0）时成立。因此，选项 C 错误。
步骤 5：分析选项 D
由于 $X$ 的均值为1，分布不对称于0，$P(X \leq 0) \neq P(X \geq 0) \neq \frac{1}{2}$。因此，选项 D 错误。