题目
1.设X1,X2,···,xn是来自总体X的样本,总体X的密度函数为-|||-(x;theta ,alpha )= { , xgeqslant a .-|||-其中θ,α均为未知参数,且 theta gt 0,-infty lt alpha lt +infty , 求θ,α的矩估计量.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定总体的期望值
总体X的密度函数为 $f(x;\theta ,\alpha )=$ $\left \{ \begin{matrix} 0,x\lt \alpha \\ \dfrac {1}{\theta }{e}^{-\dfrac {x}{\theta }},x\geqslant \alpha \end{matrix} \right.$ ，其中 $\theta \gt 0,-\infty \lt a\lt +\infty$。首先，我们需要计算总体X的期望值E(X)。根据密度函数，总体X的期望值为：
$$E(X) = \int_{\alpha}^{\infty} x \cdot \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}} dx$$
步骤 2：计算总体X的期望值
利用分部积分法，可以计算出总体X的期望值为：
$$E(X) = \alpha + \theta$$
步骤 3：确定矩估计量
根据矩估计法，总体X的期望值E(X)等于样本均值 $\overline{X}$，即：
$$\overline{X} = \alpha + \theta$$
因此，可以得到矩估计量为：
$$\hat{\alpha} = \overline{X} - \theta$$
$$\hat{\theta} = s$$
其中，s为样本标准差。
总体X的密度函数为 $f(x;\theta ,\alpha )=$ $\left \{ \begin{matrix} 0,x\lt \alpha \\ \dfrac {1}{\theta }{e}^{-\dfrac {x}{\theta }},x\geqslant \alpha \end{matrix} \right.$ ，其中 $\theta \gt 0,-\infty \lt a\lt +\infty$。首先，我们需要计算总体X的期望值E(X)。根据密度函数，总体X的期望值为：
$$E(X) = \int_{\alpha}^{\infty} x \cdot \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}} dx$$
步骤 2：计算总体X的期望值
利用分部积分法，可以计算出总体X的期望值为：
$$E(X) = \alpha + \theta$$
步骤 3：确定矩估计量
根据矩估计法，总体X的期望值E(X)等于样本均值 $\overline{X}$，即：
$$\overline{X} = \alpha + \theta$$
因此，可以得到矩估计量为：
$$\hat{\alpha} = \overline{X} - \theta$$
$$\hat{\theta} = s$$
其中，s为样本标准差。