题目
561 设X1,X2,··· _(n)(ngeqslant 2) 为来自总体 (mu ,(sigma )^2)(sigma gt 0) 的简单随机样本,令 overline (X)=-|||-dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(X)_(i) =sqrt (dfrac {1)(n-1)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2} '=sqrt (dfrac {1)(n)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-mu )}^2} 则-|||-(A) dfrac (sqrt {n)(overline (X)-mu )}(S)sim t(n). (B) dfrac (sqrt {n)(overline (X)-mu )}(S)sim t(n-1).-|||-(C) dfrac (sqrt {n)(overline (X)-mu )}(S)sim t(n). (D) dfrac (sqrt {n)(overline (X)-mu )}(S)sim t(n-1).A、AB、BC、CD、D
- A、A
- B、B
- C、C
- D、D
题目解答
答案
B
解析
步骤 1：定义和理解统计量
- $\overline{X}$ 是样本均值，$S$ 是样本标准差，$S'$ 是总体标准差的估计。
- $t$ 分布是用于小样本的统计分布，当总体标准差未知时，用样本标准差代替总体标准差。
步骤 2：确定统计量的分布
- $\overline{X}$ 是来自正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本均值，因此 $\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。
- $S$ 是样本标准差，$S^2$ 是样本方差，$S^2 \sim \frac{(n-1)\sigma^2}{\chi^2_{n-1}}$，其中 $\chi^2_{n-1}$ 是自由度为 $n-1$ 的卡方分布。
- $\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S}$ 是 $t$ 分布的定义形式，其中分子是正态分布，分母是卡方分布的平方根，自由度为 $n-1$。
步骤 3：选择正确的选项
- 根据 $t$ 分布的定义，$\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S}$ 应该服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布。
- 因此，正确的选项是 $\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S} \sim t(n-1)$。
- $\overline{X}$ 是样本均值，$S$ 是样本标准差，$S'$ 是总体标准差的估计。
- $t$ 分布是用于小样本的统计分布，当总体标准差未知时，用样本标准差代替总体标准差。
步骤 2：确定统计量的分布
- $\overline{X}$ 是来自正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本均值，因此 $\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。
- $S$ 是样本标准差，$S^2$ 是样本方差，$S^2 \sim \frac{(n-1)\sigma^2}{\chi^2_{n-1}}$，其中 $\chi^2_{n-1}$ 是自由度为 $n-1$ 的卡方分布。
- $\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S}$ 是 $t$ 分布的定义形式，其中分子是正态分布，分母是卡方分布的平方根，自由度为 $n-1$。
步骤 3：选择正确的选项
- 根据 $t$ 分布的定义，$\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S}$ 应该服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布。
- 因此，正确的选项是 $\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S} \sim t(n-1)$。