题目
2. 糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为100kg，每天开工后需要检验一次打包机工作是否正常。某日开工测得9包重量（单位：kg）如下：99.3 98.7 100.5 101 98.3 99.7 99.5 102 100.1若包重服从正态分布N(μ，4)，试问该日打包机工作是否正常？（α=0.05，u_(0.025)=1.96）
2. 糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为100kg，每天开工后需要检验一次打包机工作是否正常。某日开工测得9包重量（单位：kg）如下：
99.3 98.7 100.5 101 98.3 99.7 99.5 102 100.1
若包重服从正态分布N(μ，4)，试问该日打包机工作是否正常？（α=0.05，$u_{0.025}=1.96$）
题目解答
答案
为了确定该日打包机工作是否正常，我们需要对包重的均值进行假设检验。假设检验的步骤如下：
1. **建立假设**：
- 零假设 $ H_0 $：$\mu = 100 $（打包机工作正常）
- 备择假设 $ H_1 $：$\mu \neq 100 $（打包机工作不正常）
2. **选择检验统计量**：
由于包重服从正态分布 $ N(\mu, 4) $，且方差已知，我们使用Z检验统计量：
\[
Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}
\]
其中，$\bar{X}$ 是样本均值，$\mu_0 = 100$ 是 hypothesized 均值，$\sigma = 2$ 是标准差，$n = 9$ 是样本大小。
3. **计算样本均值**：
\[
\bar{X} = \frac{99.3 + 98.7 + 100.5 + 101 + 98.3 + 99.7 + 99.5 + 102 + 100.1}{9} = \frac{900.1}{9} \approx 100.0111
\]
4. **计算检验统计量**：
\[
Z = \frac{100.0111 - 100}{2 / \sqrt{9}} = \frac{0.0111}{2 / 3} = \frac{0.0111}{0.6667} \approx 0.0166
\]
5. **确定临界值**：
对于双侧检验，显著性水平 $\alpha = 0.05$，临界值为 $u_{0.025} = 1.96$。因此，拒绝域为 $|Z| > 1.96$。
6. **做出决策**：
计算得到的检验统计量 $Z \approx 0.0166$，由于 $|0.0166| < 1.96$，我们 fail to reject $ H_0 $。
7. **结论**：
该日打包机工作正常。
\[
\boxed{\text{该日打包机工作正常}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查假设检验的应用，特别是Z检验在实际问题中的使用。需要掌握正态分布下均值的双侧检验步骤，包括假设建立、统计量计算、临界值判断等。
解题核心思路：
- 建立假设：零假设为打包机工作正常（μ=100），备择假设为工作不正常（μ≠100）。
- 选择检验方法：由于方差已知且总体服从正态分布，采用Z检验。
- 计算样本均值：通过数据求和求平均。
- 计算检验统计量：代入Z公式，比较观测值与临界值。
- 决策与结论：根据统计量是否落在拒绝域内，判断是否拒绝零假设。
破题关键点：
- 正确计算样本均值是基础，需仔细核对数据总和。
- Z值的计算需注意分母为标准差除以根号样本量。
- 双侧检验的临界值为±1.96，需比较|Z|与临界值。
1. 建立假设
- 零假设 $H_0$：$\mu = 100$（打包机工作正常）
- 备择假设 $H_1$：$\mu \neq 100$（打包机工作不正常）
2. 选择检验统计量
总体服从 $N(\mu, 4)$，方差 $\sigma^2 = 4$ 已知，故使用Z检验：
$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$
其中 $\mu_0 = 100$，$\sigma = 2$，样本量 $n = 9$。
3. 计算样本均值
数据总和为：
$99.3 + 98.7 + 100.5 + 101 + 98.3 + 99.7 + 99.5 + 102 + 100.1 = 899.1$
样本均值为：
$\bar{X} = \frac{899.1}{9} = 99.9$
4. 计算检验统计量
$Z = \frac{99.9 - 100}{2 / \sqrt{9}} = \frac{-0.1}{0.6667} \approx -0.15$
5. 确定临界值
双侧检验，显著性水平 $\alpha = 0.05$，临界值为 $\pm 1.96$，拒绝域为 $|Z| > 1.96$。
6. 做出决策
计算得 $|Z| = 0.15 < 1.96$，不拒绝零假设。
7. 结论
该日打包机工作正常。