对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，方差为2.25，则在100轰炸中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率为________. (附：)

考查要点：本题主要考查中心极限定理的应用，即利用正态分布近似求解独立同分布随机变量和的概率问题。

解题核心思路：

1. 确定总命中数的期望与方差：每次轰炸命中数的期望为2，方差为2.25，100次轰炸的总命中数可视为100个独立同分布随机变量的和。
2. 应用中心极限定理：当样本量较大（如n=100）时，总命中数近似服从正态分布。
3. 标准化处理：将题目中的区间转化为标准正态分布的概率，通过查表计算最终结果。

破题关键点：

• 正确计算总命中数的期望和方差。
• 选择合适的标准化方法，将实际值转化为Z分数。
• 准确查标准正态分布表，注意区间概率的计算方式。

步骤1：计算总命中数的期望与方差

设每次轰炸命中数为$X_i$，则总命中数$S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{100}$。

• 期望：$E(S) = 100 \times E(X_i) = 100 \times 2 = 200$
• 方差：$\text{Var}(S) = 100 \times \text{Var}(X_i) = 100 \times 2.25 = 225$
• 标准差：$\sigma = \sqrt{225} = 15$

步骤2：应用中心极限定理

根据中心极限定理，$S$近似服从正态分布$N(\mu=200, \sigma^2=225)$，即：
$S \sim N(200, 15^2)$

步骤3：标准化并计算概率

求$P(180 \leq S \leq 220)$，转化为标准正态分布：
$Z_1 = \frac{180 - 200}{15} = -1.33, \quad Z_2 = \frac{220 - 200}{15} = 1.33$
查标准正态分布表得：
$\Phi(1.33) = 0.9082, \quad \Phi(-1.33) = 1 - \Phi(1.33) = 0.0918$
因此，所求概率为：
$P(180 \leq S \leq 220) = \Phi(1.33) - \Phi(-1.33) = 0.9082 - 0.0918 = 0.8164$
保留三位小数，结果为$0.816$。