某地 1992 年随机抽取 100 名健康女性，算得其血清总蛋白含量的均数为 74 , (g/L)，标准差为 4 , (g/L)，则其总体均数的 95% 可信区间为(）。 A. 74 pm 2.58 times 4 div 10B. 74 pm 1.96 times 4 div 10C. 74 pm 2.58 times 4D. 74 pm 4 times 4E. 74 pm 1.96 times 4

考查要点：本题主要考查总体均数的可信区间计算，涉及正态近似法的应用，需明确区分标准差与标准误的概念。

解题核心思路：

1. 判断适用分布：样本量为100（大样本），适用正态分布，使用z值。
2. 确定分位数：95%可信度对应双侧z值为1.96。
3. 计算标准误：标准误为$\frac{s}{\sqrt{n}}$，需注意分母为根号样本量。
4. 代入公式：可信区间公式为$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$。

破题关键点：

• 区分标准差与标准误：选项中若未除以$\sqrt{n}$，则错误。
• 正确选择z值：95%对应1.96，而非2.58（99%）。

公式推导

总体均数的95%可信区间公式为：
$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$
其中：

• $\bar{x} = 74 \, \text{g/L}$（样本均数）
• $s = 4 \, \text{g/L}$（样本标准差）
• $n = 100$（样本量）
• $z_{\alpha/2} = 1.96$（95%置信水平对应的z值）

代入计算

1. 计算标准误：
   $\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{4}{\sqrt{100}} = \frac{4}{10} = 0.4$
2. 计算误差范围：
   $z_{\alpha/2} \times \frac{s}{\sqrt{n}} = 1.96 \times 0.4 = 1.96 \times \frac{4}{10}$
3. 最终区间：
   $74 \pm 1.96 \times \frac{4}{10} \quad \text{即} \quad 74 \pm 1.96 \times 4 \div 10$

选项分析

• 选项B正确体现了公式中的标准误（除以$\sqrt{100}=10$）和z值1.96。
• 选项E未除以$\sqrt{n}$，直接使用标准差，错误。
• 选项A的z值2.58对应99%置信水平，错误。
• 选项C、D的分母或运算顺序错误。