题目

10.设总体服从正态分布),而是来自总体的简单随机样本,是样本均值,则

10.设总体服从正态分布),而是来自总体的简单随机样本,是样本均值,则

题目解答

答案

1.计算

首先，我们知道：

其中是样本方差，。

2.样本均值的性质

由于服从,样本均值也服从正态分布：

3.计算

根据方差的性质，我们有：

对于正态分布，样本方差的期望为总体方差：

因此

4.计算

我们可以将其展开：

由于和是不相关的, 我们可以分开期望：

我们已经计算出：

5.计算

服从,因此：

6.最终结果

将所有结果结合起来：

解析

步骤 1：计算$\sum _{i=1}^{9}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$
首先，我们知道：
$\sum _{i=1}^{9}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}=(n-1){S}^{2}$
其中${S}^{2}$是样本方差，n=9。
步骤 2：样本均值的性质
由于$X_i$服从$N(1,9)$,样本均值也服从正态分布：
$\overline {X}\sim N(1,\dfrac {9}{9})=N(1,1)$
步骤 3：计算$E\{ \sum _{i=1}^{9}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}\}$
根据方差的性质，我们有：
$E\{ \sum _{i=1}^{9}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}\} =(n-1)E|{S}^{2}\} $
对于正态分布，样本方差的期望为总体方差：
$E[ {S}^{2}] ={\sigma }^{2}=9$
因此$E\{ \sum _{i=1}^{9}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}\} =(9-1)\cdot 9=8\cdot 9=72$
步骤 4：计算$E\{ \sum _{i=1}^{9}{[ ({X}_{i}-\overline {X})\overline {X}] }^{2}\}$
我们可以将其展开：
$E\{ \sum _{i=1}^{9}[ {({X}_{i}-\overline {X})\overline {X}] }^{2}\} =E\{ \sum _{i=1}^{9}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}\cdot {\overline {X}}^{2}\} $
由于$({X}_{i}-\overline {X})$和$\overline {X}$是不相关的, 我们可以分开期望：
$=E\{ \sum _{i=1}^{9}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}\} \cdot E\{ {\overline {X}}^{2}\} $
我们已经计算出：
$E\{ \sum _{i=1}^{9}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}\} =72$
步骤 5：计算$E\{ {\overline {X}}^{2}\}$
由于$\overline {X}$服从$N(1,1)$,因此：
$E\{ {\overline {X}}^{2}\} =V\arccos (\overline {X})+{(E\overline {X})}^{2}=1+{1}^{2}=2$
步骤 6：最终结果
将所有结果结合起来：
$E\{ \sum _{i=1}^{9}{[ ({X}_{i}-\overline {X})\overline {X}] }^{2}\} =72\cdot 2=144$