从正态总体(3.4,(6)^2)中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大?附表:标准正态分布表(3.4,(6)^2)z1.281.6451.962.33.9000.9500.9750.990

步骤 1：确定样本均值的分布
样本均值$\overline{X}$服从正态分布$N(3.4, \frac{6^2}{n})$，其中$3.4$是总体均值，$\frac{6^2}{n}$是样本均值的方差。
步骤 2：标准化样本均值
将样本均值标准化，得到$\frac{\overline{X}-3.4}{6/\sqrt{n}}$，该标准化后的变量服从标准正态分布$N(0,1)$。
步骤 3：计算概率
根据题目要求，样本均值位于区间$(1.4, 5.4)$内的概率不小于$0.95$，即$P(1.4 < \overline{X} < 5.4) \geq 0.95$。
步骤 4：标准化区间
将区间$(1.4, 5.4)$标准化，得到$P(\frac{1.4-3.4}{6/\sqrt{n}} < \frac{\overline{X}-3.4}{6/\sqrt{n}} < \frac{5.4-3.4}{6/\sqrt{n}}) \geq 0.95$。
步骤 5：计算标准化后的区间
计算标准化后的区间，得到$P(-\frac{2}{6/\sqrt{n}} < Z < \frac{2}{6/\sqrt{n}}) \geq 0.95$，其中$Z$是标准正态分布变量。
步骤 6：查找标准正态分布表
根据标准正态分布表，找到$P(|Z| < z) = 0.95$对应的$z$值，即$z = 1.96$。
步骤 7：求解样本容量
根据$-\frac{2}{6/\sqrt{n}} = -1.96$，解得$n \geq (1.96 \times 3)^2 \approx 34.57$。