题目
2.某企业引进了新的智能生产线使得生产效率大幅度提升。已知该生产线上组装每件产品的时间服从指数分布，且各件产品的组装时间是相互独立的。统计表明该生产线组装每件产品的平均时间为10分钟。试用中心极限定理计算组装100件产品需要15~20小时的概率。(Φ(1)=0.8413,Φ(2)=0.9772)
2.某企业引进了新的智能生产线使得生产效率大幅度提升。已知该生产线上组装每件产品的时间服从指数分布，且各件产品的组装时间是相互独立的。统计表明该生产线组装每件产品的平均时间为10分钟。试用中心极限定理计算组装100件产品需要15~20小时的概率。
(Φ(1)=0.8413,Φ(2)=0.9772)
题目解答
答案
设每件产品组装时间 $X_i$ 服从指数分布，均值 $E(X_i) = 10$ 分钟，方差 $D(X_i) = 100$ 分钟^2。总时间 $S = \sum_{i=1}^{100} X_i$ 的期望 $E(S) = 1000$ 分钟，方差 $D(S) = 10000$ 分钟^2，标准差 $\sigma_S = 100$ 分钟。
将15-20小时转换为分钟：900-1200分钟。
标准化得：
\[ P(900 \leq S \leq 1200) = P\left(-1 \leq \frac{S - 1000}{100} \leq 2\right) = \Phi(2) - \Phi(-1) = \Phi(2) + \Phi(1) - 1. \]
代入已知值：
\[ \Phi(2) = 0.9772, \quad \Phi(1) = 0.8413, \]
\[ P = 0.9772 + 0.8413 - 1 = 0.8185. \]
**答案：** $\boxed{0.8185}$
解析
步骤 1：确定每件产品组装时间的分布参数
每件产品组装时间 $X_i$ 服从指数分布，均值 $E(X_i) = 10$ 分钟，方差 $D(X_i) = 100$ 分钟^2。
步骤 2：计算总时间的期望和方差
总时间 $S = \sum_{i=1}^{100} X_i$ 的期望 $E(S) = 1000$ 分钟，方差 $D(S) = 10000$ 分钟^2，标准差 $\sigma_S = 100$ 分钟。
步骤 3：将时间范围转换为分钟
将15-20小时转换为分钟：900-1200分钟。
步骤 4：标准化并计算概率
标准化得： \[ P(900 \leq S \leq 1200) = P\left(-1 \leq \frac{S - 1000}{100} \leq 2\right) = \Phi(2) - \Phi(-1) = \Phi(2) + \Phi(1) - 1. \] 代入已知值： \[ \Phi(2) = 0.9772, \quad \Phi(1) = 0.8413, \] \[ P = 0.9772 + 0.8413 - 1 = 0.8185. \]
每件产品组装时间 $X_i$ 服从指数分布，均值 $E(X_i) = 10$ 分钟，方差 $D(X_i) = 100$ 分钟^2。
步骤 2：计算总时间的期望和方差
总时间 $S = \sum_{i=1}^{100} X_i$ 的期望 $E(S) = 1000$ 分钟，方差 $D(S) = 10000$ 分钟^2，标准差 $\sigma_S = 100$ 分钟。
步骤 3：将时间范围转换为分钟
将15-20小时转换为分钟：900-1200分钟。
步骤 4：标准化并计算概率
标准化得： \[ P(900 \leq S \leq 1200) = P\left(-1 \leq \frac{S - 1000}{100} \leq 2\right) = \Phi(2) - \Phi(-1) = \Phi(2) + \Phi(1) - 1. \] 代入已知值： \[ \Phi(2) = 0.9772, \quad \Phi(1) = 0.8413, \] \[ P = 0.9772 + 0.8413 - 1 = 0.8185. \]