假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为λt的泊-|||-松分布。试求:(1)相继两次故障之间的时间间隔T的概率分布;(2)在设备已经无故障工-|||-作8h的情形下,再无故障运行8h的概率。

考查要点：本题主要考查泊松过程的性质及其应用，特别是指数分布的无记忆性在实际问题中的运用。

解题核心思路：

1. 泊松过程的时间间隔分布：在泊松过程中，相邻两次事件（故障）发生的时间间隔服从参数为λ的指数分布。
2. 条件概率与无记忆性：指数分布的无记忆性表明，已知设备已无故障运行一段时间后，剩余无故障时间的分布与初始情况相同，可直接利用指数分布的概率公式计算。

破题关键点：

• 第（1）问需明确泊松过程的间隔时间分布特性。
• 第（2）问需结合条件概率公式和指数分布的无记忆性简化计算。

第（1）题

关键思路：
泊松过程具有独立增量和平稳增量的性质，且事件发生的时间间隔服从指数分布。具体推导如下：

1. 定义事件间隔时间：设$T$为两次相邻故障的时间间隔。
2. 概率计算：
   • $T > t$表示在时间区间$[0, t]$内未发生故障。
   • 根据泊松分布，$P(N(t)=0) = e^{-\lambda t}$。
   • 因此，$P(T > t) = e^{-\lambda t}$，对应指数分布的生存函数。
3. 结论：$T$服从参数为$\lambda$的指数分布。

第（2）题

关键思路：
利用指数分布的无记忆性，即$P(T > t + s \mid T > s) = P(T > t)$。

1. 条件概率公式：
   $P(T > 16 \mid T > 8) = \frac{P(T > 16)}{P(T > 8)}.$
2. 代入指数分布公式：
   $P(T > 16) = e^{-\lambda \cdot 16}, \quad P(T > 8) = e^{-\lambda \cdot 8}.$
3. 化简得：
   $P(T > 16 \mid T > 8) = \frac{e^{-16\lambda}}{e^{-8\lambda}} = e^{-8\lambda}.$