题目
假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为λt的泊-|||-松分布。试求:(1)相继两次故障之间的时间间隔T的概率分布;(2)在设备已经无故障工-|||-作8h的情形下,再无故障运行8h的概率。
题目解答
答案
T服从参数为 \\lambda 的指数分布 ;(2)e^{-8 \\lambda} 。
解析
步骤 1：确定N(t)的泊松分布
N(t)表示在时间t内发生故障的次数，它服从参数为λt的泊松分布。泊松分布的概率质量函数为：
\[ P(N(t) = k) = \frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!} \]
其中，k为非负整数，λ为故障率。
步骤 2：确定T的概率分布
T表示相继两次故障之间的时间间隔。由于N(t)是泊松过程，T的分布是指数分布。指数分布的概率密度函数为：
\[ f_T(t) = \lambda e^{-\lambda t} \]
其中，t > 0，λ为故障率。
步骤 3：计算在设备已经无故障工作8h的情形下，再无故障运行8h的概率
由于T服从指数分布，指数分布具有无记忆性，即在已经无故障工作8h的情况下，再无故障运行8h的概率等于在初始时刻无故障运行8h的概率。因此，该概率为：
\[ P(T > 8) = e^{-\lambda \cdot 8} \]
N(t)表示在时间t内发生故障的次数，它服从参数为λt的泊松分布。泊松分布的概率质量函数为：
\[ P(N(t) = k) = \frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!} \]
其中，k为非负整数，λ为故障率。
步骤 2：确定T的概率分布
T表示相继两次故障之间的时间间隔。由于N(t)是泊松过程，T的分布是指数分布。指数分布的概率密度函数为：
\[ f_T(t) = \lambda e^{-\lambda t} \]
其中，t > 0，λ为故障率。
步骤 3：计算在设备已经无故障工作8h的情形下，再无故障运行8h的概率
由于T服从指数分布，指数分布具有无记忆性，即在已经无故障工作8h的情况下，再无故障运行8h的概率等于在初始时刻无故障运行8h的概率。因此，该概率为：
\[ P(T > 8) = e^{-\lambda \cdot 8} \]