题目

30 总体Xsim N(mu,sigma^2)，x_(1),x_(2),...,x_(n)为其样本，overline(x)=(1)/(n)sum_(i=1)^nx_(i)，s_(n)^2=(1)/(n-1)sum_(i=1)^n(x_(i)-overline(x))^2，则Y=(sqrt(n)(overline(x)-mu))/(s_(n))服从的分布为（）bigcircX^2(n-1)bigcircN(0,1)bigcirct(n-1)bigcirct(R)

30 总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$为其样本，$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}$，$s_{n}^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}$，则$Y=\frac{\sqrt{n}(\overline{x}-\mu)}{s_{n}}$服从的分布为（） $\bigcirc$$X^{2}(n-1)$ $\bigcirc$$N(0,1)$ $\bigcirc$$t(n-1)$ $\bigcirc$$t(R)$

题目解答

答案

由题意，样本均值 $\overline{x}$ 服从 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，标准化后 $\frac{\sqrt{n}(\overline{x} - \mu)}{\sigma} \sim N(0, 1)$。样本方差 $s_n^2$ 满足 $\frac{(n-1)s_n^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。 将 $Y$ 表达式改写为： \[ Y = \frac{\frac{\sqrt{n}(\overline{x} - \mu)}{\sigma}}{\sqrt{\frac{s_n^2}{\sigma^2}}} = \frac{Z}{\sqrt{\frac{\chi^2(n-1)}{n-1}}} \] 其中 $Z \sim N(0, 1)$，分母为自由度为 $n-1$ 的卡方变量除以自由度的平方根，符合 t 分布定义。 因此，$Y$ 服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布，答案为 $\boxed{C}$。

解析

考查要点：本题主要考查抽样分布中t分布的推导过程，涉及样本均值和样本方差的分布性质及其独立性。

解题核心思路：

  1. 样本均值 $\overline{x}$ 的标准化形式服从标准正态分布；
  2. 样本方差 $s_n^2$ 与卡方分布的关系；
  3. 将标准化后的正态变量与卡方变量结合，构造出t分布的形式。

破题关键点：

  • 独立性：样本均值与样本方差相互独立；
  • 标准化处理：将分子转化为标准正态变量，分母转化为卡方变量的函数。

步骤1：分析样本均值的分布

总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本均值 $\overline{x}$ 的分布为：
$\overline{x} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$
标准化后：
$Z = \frac{\sqrt{n}(\overline{x} - \mu)}{\sigma} \sim N(0, 1)$

步骤2：分析样本方差的分布

样本方差 $s_n^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$ 满足：
$\frac{(n-1)s_n^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$

步骤3：构造t分布形式

将 $Y$ 表达式改写为：
$Y = \frac{Z}{\sqrt{\frac{(n-1)s_n^2}{\sigma^2} \cdot \frac{1}{n-1}}} = \frac{Z}{\sqrt{\frac{\chi^2(n-1)}{n-1}}}$
其中：

  • 分子 $Z \sim N(0, 1)$；
  • 分母为自由度为 $n-1$ 的卡方变量除以自由度的平方根。

根据 t分布的定义，$Y$ 服从自由度为 $n-1$ 的t分布，即 $t(n-1)$。