题目

5.设X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自总体Xsim N(mu,sigma^2)的一个样本，其中μ未知，sigma^2已知，则μ的置信概率为1-α的置信区间为____

5.设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$的一个样本，其中μ未知，$\sigma^{2}$已知，则μ的置信概率为1-α的置信区间为____

题目解答

答案

设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，其中 $\mu$ 未知，$\sigma^2$ 已知。样本均值 $\bar{X}$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。 标准化后，随机变量 $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。 对于置信水平 $1 - \alpha$，查表得双侧分位数 $z_{\alpha/2}$，满足 $P(-z_{\alpha/2} \leq Z \leq z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha$。 解得 $\mu$ 的置信区间为： \[ \boxed{\left( \bar{X} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)} \] 或等价表示为： \[ \boxed{\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \] 其中 $z_{\alpha/2}$ 为标准正态分布的双侧分位数。

解析

考查要点：本题主要考查正态总体均值的置信区间构造方法，重点在于理解总体方差已知时如何利用标准正态分布求解置信区间。

解题核心思路：

  1. 确定样本均值的分布：由于总体服从正态分布，样本均值$\bar{X}$也服从正态分布，其均值为$\mu$，方差为$\frac{\sigma^2}{n}$。
  2. 标准化构造统计量：将样本均值标准化为$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$，此时$Z$服从标准正态分布。
  3. 利用分位数确定区间范围：根据置信水平$1-\alpha$，找到标准正态分布的双侧分位数$z_{\alpha/2}$，建立不等式$-z_{\alpha/2} \leq Z \leq z_{\alpha/2}$。
  4. 解不等式求$\mu$的范围：将不等式变形，解出$\mu$的置信区间。

破题关键点：

  • 区分总体方差已知与未知：本题中$\sigma^2$已知，因此直接使用标准正态分布；若未知则需用$t$分布。
  • 正确应用双侧分位数：置信区间为双侧，分位数应为$z_{\alpha/2}$而非$z_\alpha$。

步骤1：确定样本均值的分布

样本均值$\bar{X}$服从正态分布：
$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$

步骤2：构造标准化统计量

将$\bar{X}$标准化：
$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$

步骤3：建立置信水平对应的概率区间

对于置信水平$1-\alpha$，查标准正态分布表得双侧分位数$z_{\alpha/2}$，使得：
$P\left(-z_{\alpha/2} \leq Z \leq z_{\alpha/2}\right) = 1 - \alpha$

步骤4：解不等式求$\mu$的范围

将不等式代入$Z$的表达式：
$-z_{\alpha/2} \leq \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \leq z_{\alpha/2}$
两边同时乘以$\sigma / \sqrt{n}$：
$-\mu \leq \bar{X} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad \text{且} \quad \bar{X} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \geq \mu$
整理得$\mu$的置信区间：
$\mu \in \left( \bar{X} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$