题目

设_(1),(X)_(2),(X)_(3)是来自总体X的样本,若E(X)=μ(未知),_(1),(X)_(2),(X)_(3)是μ的无偏估计,则常数a=A. _(1),(X)_(2),(X)_(3) B. _(1),(X)_(2),(X)_(3) C. _(1),(X)_(2),(X)_(3) D. _(1),(X)_(2),(X)_(3)

设是来自总体X的样本,若E(X)=μ(未知),是μ的无偏估计,则常数a=

A.
B.
C.
D.

题目解答

答案

B

解析

无偏估计的核心在于估计量的期望等于被估计的参数。本题中，给定估计量$\mu = \dfrac{1}{2}x_1 - a x_2 + 3a x_3$，需满足$E(\mu) = \mu$。通过计算估计量的期望并令其等于$\mu$，即可解出$a$的值。

  1. 计算估计量的期望
    根据期望的线性性质，有：
    $E\left(\dfrac{1}{2}x_1 - a x_2 + 3a x_3\right) = \dfrac{1}{2}E(x_1) - a E(x_2) + 3a E(x_3)$
    由于$x_1, x_2, x_3$是来自总体$X$的样本，故$E(x_i) = \mu$（$i=1,2,3$）。代入得：
    $\dfrac{1}{2}\mu - a \mu + 3a \mu$

  2. 建立无偏方程
    无偏性要求估计量的期望等于$\mu$，即：
    $\dfrac{1}{2}\mu - a \mu + 3a \mu = \mu$
    提取公因子$\mu$，得：
    $\left(\dfrac{1}{2} + 2a\right)\mu = \mu$

  3. 解方程求$a$
    比较系数得：
    $\dfrac{1}{2} + 2a = 1 \quad \Rightarrow \quad 2a = \dfrac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad a = \dfrac{1}{4}$