题目
在总体 N(12，4) 中随机抽一容量为5的样本 X1，X2，X3，X4，X5 。 (1)求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。 (2)求概率 P_(max)(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)>15 ； P_(min)(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)<10 。
在总体$ N(12，4) $中随机抽一容量为5的样本$ X1，X2，X3，X4，X5 $。
(1)求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。
(2)求概率$ P_{max}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)>15 $；$ P_{min}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)<10 $。
题目解答
答案
(1).0.7698
(2)0.3023；0.5786 .
解析
步骤 1：计算样本均值的分布
样本均值$\bar{X}$的分布为$N(\mu, \sigma^2/n)$，其中$\mu=12$，$\sigma^2=4$，$n=5$。因此，$\bar{X} \sim N(12, 4/5)$。
步骤 2：计算样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率
样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率为$P(|\bar{X} - 12| > 1)$。由于$\bar{X} \sim N(12, 4/5)$，我们可以通过标准化转换得到$Z = \frac{\bar{X} - 12}{\sqrt{4/5}}$，其中$Z \sim N(0, 1)$。因此，$P(|\bar{X} - 12| > 1) = P(|Z| > \frac{1}{\sqrt{4/5}}) = P(|Z| > \frac{\sqrt{5}}{2})$。查标准正态分布表，得到$P(|Z| > \frac{\sqrt{5}}{2}) = 0.7698$。
步骤 3：计算$P_{max}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)>15$的概率
$P_{max}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)>15$的概率为$1 - P_{max}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \leq 15$。由于$X_i \sim N(12, 4)$，我们可以通过标准化转换得到$Z_i = \frac{X_i - 12}{2}$，其中$Z_i \sim N(0, 1)$。因此，$P_{max}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \leq 15 = P(Z_i \leq \frac{15 - 12}{2})^5 = P(Z_i \leq 1.5)^5$。查标准正态分布表，得到$P(Z_i \leq 1.5) = 0.9332$，因此$P_{max}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \leq 15 = 0.9332^5 = 0.6977$。因此，$P_{max}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)>15 = 1 - 0.6977 = 0.3023$。
步骤 4：计算$P_{min}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)<10$的概率
$P_{min}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)<10$的概率为$1 - P_{min}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \geq 10$。由于$X_i \sim N(12, 4)$，我们可以通过标准化转换得到$Z_i = \frac{X_i - 12}{2}$，其中$Z_i \sim N(0, 1)$。因此，$P_{min}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \geq 10 = P(Z_i \geq \frac{10 - 12}{2})^5 = P(Z_i \geq -1)^5$。查标准正态分布表，得到$P(Z_i \geq -1) = 0.8413$，因此$P_{min}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \geq 10 = 0.8413^5 = 0.4214$。因此，$P_{min}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)<10 = 1 - 0.4214 = 0.5786$。
样本均值$\bar{X}$的分布为$N(\mu, \sigma^2/n)$，其中$\mu=12$，$\sigma^2=4$，$n=5$。因此，$\bar{X} \sim N(12, 4/5)$。
步骤 2：计算样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率
样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率为$P(|\bar{X} - 12| > 1)$。由于$\bar{X} \sim N(12, 4/5)$，我们可以通过标准化转换得到$Z = \frac{\bar{X} - 12}{\sqrt{4/5}}$，其中$Z \sim N(0, 1)$。因此，$P(|\bar{X} - 12| > 1) = P(|Z| > \frac{1}{\sqrt{4/5}}) = P(|Z| > \frac{\sqrt{5}}{2})$。查标准正态分布表，得到$P(|Z| > \frac{\sqrt{5}}{2}) = 0.7698$。
步骤 3：计算$P_{max}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)>15$的概率
$P_{max}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)>15$的概率为$1 - P_{max}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \leq 15$。由于$X_i \sim N(12, 4)$，我们可以通过标准化转换得到$Z_i = \frac{X_i - 12}{2}$，其中$Z_i \sim N(0, 1)$。因此，$P_{max}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \leq 15 = P(Z_i \leq \frac{15 - 12}{2})^5 = P(Z_i \leq 1.5)^5$。查标准正态分布表，得到$P(Z_i \leq 1.5) = 0.9332$，因此$P_{max}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \leq 15 = 0.9332^5 = 0.6977$。因此，$P_{max}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)>15 = 1 - 0.6977 = 0.3023$。
步骤 4：计算$P_{min}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)<10$的概率
$P_{min}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)<10$的概率为$1 - P_{min}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \geq 10$。由于$X_i \sim N(12, 4)$，我们可以通过标准化转换得到$Z_i = \frac{X_i - 12}{2}$，其中$Z_i \sim N(0, 1)$。因此，$P_{min}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \geq 10 = P(Z_i \geq \frac{10 - 12}{2})^5 = P(Z_i \geq -1)^5$。查标准正态分布表，得到$P(Z_i \geq -1) = 0.8413$，因此$P_{min}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \geq 10 = 0.8413^5 = 0.4214$。因此，$P_{min}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)<10 = 1 - 0.4214 = 0.5786$。