如图 1-33 所示,一抽吸设备水平放置,其出口和大气相通,细管处截面积 _(1)=-|||-.2times (10)^-4(m)^2, 出口处管道截面积 _(2)=4(A)_(1) ,h=1m。 试求开始抽吸时,水平管中所必须通过-|||-的流量q。(液体为理想液体,不计损失)
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查理想液体在管道中的流动问题，涉及伯努利方程和连续性方程的应用，同时需要结合静压力基本方程进行综合分析。
解题核心思路：
- 连续性方程：保证流量在管道各截面相等，即 $A_1 v_1 = A_2 v_2$，从而建立速度关系。
- 伯努利方程：在截面 $A_1$ 和 $A_2$ 处列写能量方程，结合静压力方程 $P_1 = P_a - \rho g h$，消去压力项，最终得到速度表达式。
- 流量计算：通过速度和截面积计算流量 $q = A_2 v_2$。
破题关键点：
- 明确进口处压力 $P_1$ 与出口处大气压 $P_a$ 的关系（静压力方程）。
- 利用连续性方程将速度关联，简化伯努利方程中的变量。
步骤1：应用连续性方程
根据流量连续性方程：
$A_1 v_1 = A_2 v_2$
已知 $A_2 = 4A_1$，代入得：
$v_2 = \frac{v_1}{4}$
步骤2：列写伯努利方程
在截面 $A_1$ 和 $A_2$ 处列写伯努利方程（不计损失，高度相同）：
$\frac{P_1}{\rho} + \frac{v_1^2}{2} = \frac{P_a}{\rho} + \frac{v_2^2}{2}$
步骤3：代入静压力方程
根据静压力方程：
$P_1 = P_a - \rho g h$
将 $P_1$ 代入伯努利方程：
$\frac{P_a - \rho g h}{\rho} + \frac{v_1^2}{2} = \frac{P_a}{\rho} + \frac{v_2^2}{2}$
化简得：
$-gh + \frac{v_1^2}{2} = \frac{v_2^2}{2}$
步骤4：联立方程求解速度
将 $v_2 = \frac{v_1}{4}$ 代入上式：
$-gh + \frac{v_1^2}{2} = \frac{\left(\frac{v_1}{4}\right)^2}{2}$
整理得：
$gh = \frac{15 v_1^2}{32} \quad \Rightarrow \quad v_1 = \sqrt{\frac{32 g h}{15}}$
进一步求 $v_2$：
$v_2 = \frac{v_1}{4} = \sqrt{\frac{2 g h}{15}}$
步骤5：计算流量
流量为：
$q = A_2 v_2 = 4 A_1 \cdot \sqrt{\frac{2 g h}{15}}$
代入 $A_1 = 3.2 \times 10^{-4} \, \text{m}^2$，$h = 1 \, \text{m}$，$g = 9.8 \, \text{m/s}^2$：
$q \approx 4 \times 3.2 \times 10^{-4} \times 1.14 \, \text{m}^3/\text{s} = 1.46 \times 10^{-3} \, \text{m}^3/\text{s}$