某中学高一年级的学生到人民路天桥下的十字路口,对-|||-十字路口的红绿灯的开设时间及车流量进行调查,经过学生-|||-的分组观察,得到一组数据,并把得到的数据平均,则观察结-|||-果是:东西方向绿灯即南北方向红灯的时间为49秒,南北方-|||-向绿灯即东西方向红灯的时间为39秒,所以红绿灯变换一个-|||-周期的时间为88秒.在红绿灯变换的一个周期内,相应的车-|||-流量:东西方向平均为30辆,南北方向平均为24辆.这组数-|||-据说明了什么问题?红绿灯的时间设置是否合理?

考查要点：本题通过实际问题考查数学建模与二次函数最值的应用，需要将交通流量与红绿灯时间的关系转化为数学模型，分析滞留时间最小化的合理性。

解题核心思路：

1. 建立模型：假设车流量均匀，忽略黄灯时间，将滞留总时间分为东西、南北两个方向的等待时间之和。
2. 构建函数：通过概率分析平均等待时间，推导出滞留总时间关于绿灯时间$t$的二次函数。
3. 求解最值：利用二次函数顶点公式找到最优绿灯时间$t$，代入实际数据验证合理性。

破题关键：

• 平均等待时间的推导（$\frac{t}{2}$）需基于“车流量均匀”的假设。
• 二次函数的最值直接决定红绿灯时间的合理性。

一、建立模型

1. 假设条件：
   • 忽略黄灯时间，仅考虑机动车直行流量。
   • 车流量均匀分布，绿灯时间$t$与红灯时间$T-t$在一个周期内固定。
2. 滞留时间计算：
   • 南北方向：绿灯时间为$t$，红灯概率$\frac{t}{T}$，平均等待时间$\frac{t}{2}$，总滞留时间$y_1 = \frac{V}{2T} t^2$。
   • 东西方向：绿灯时间$T-t$，同理总滞留时间$y_2 = \frac{H}{2T} (T-t)^2$。
   • 总滞留时间：$y = y_1 + y_2 = \frac{V}{2T} t^2 + \frac{H}{2T} (T-t)^2$。

二、求解模型

1. 二次函数最值：
   函数$y = \frac{V}{2T} t^2 + \frac{H}{2T} (T-t)^2$展开后为：
   $y = \frac{V + H}{2T} t^2 - \frac{H T}{T} t + \frac{H T^2}{2T}$
   顶点横坐标为$t = \frac{H T}{H + V}$，此时$y$最小。

三、检验结果

1. 代入数据：$T=88$，$H=30$，$V=24$，得：
   $t = \frac{30 \times 88}{30 + 24} \approx 48.89 \text{秒}$
   与实际观测值$49$秒接近，说明红绿灯时间设置合理。