题目

73、随机变量X服从正态分布，则ax+b(a≠0)也服从正态分布.（）bigcirc正确bigcirc错误

73、随机变量X服从正态分布，则ax+b(a≠0)也服从正态分布.（） $\bigcirc$正确 $\bigcirc$错误

题目解答

答案

设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，则其概率密度函数为： \[ f_X(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} \] 对于线性变换 $Y = aX + b$（其中 $a \neq 0$），利用变量变换公式可得 $Y$ 的概率密度函数： \[ f_Y(y) = f_X\left(\frac{y - b}{a}\right) \left| \frac{1}{a} \right| \] 代入并化简后得到： \[ f_Y(y) = \frac{1}{|a|\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(y - (a\mu + b))^2}{2(a\sigma)^2}} \] 此形式符合均值为 $a\mu + b$，方差为 $a^2\sigma^2$ 的正态分布。或者，由期望和方差的线性性质： \[ E(Y) = a\mu + b, \quad \text{Var}(Y) = a^2\sigma^2 \] 因此，$Y$ 服从正态分布 $N(a\mu + b, a^2\sigma^2)$。 **答案：** $\boxed{\text{正确}}$

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的线性性质，即随机变量经过线性变换后是否仍服从正态分布。

解题核心思路：
正态分布的一个关键性质是线性变换封闭性，即若随机变量$X$服从正态分布，则$Y = aX + b$（$a \neq 0$）仍服从正态分布，其均值和方差可由原分布参数推导得出。

破题关键点：

  1. 理解正态分布的参数变化：线性变换中的系数$a$会改变方差（平方关系），常数项$b$会改变均值，但不会改变分布类型。
  2. 掌握两种验证方法：
    • 概率密度函数变换法：通过变量代换和雅可比行列式推导新分布形式。
    • 期望与方差性质法：直接计算新分布的均值和方差，验证其符合正态分布的参数形式。

步骤1：假设原分布参数
设$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其概率密度函数为：
$f_X(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$

步骤2：定义线性变换
令$Y = aX + b$（$a \neq 0$），则反解得$X = \frac{Y - b}{a}$。

步骤3：计算概率密度函数
根据变量变换公式，$Y$的概率密度函数为：
$f_Y(y) = f_X\left(\frac{y - b}{a}\right) \cdot \left| \frac{1}{a} \right|$
代入$f_X(x)$并化简：
$f_Y(y) = \frac{1}{|a|\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{\left(y - (a\mu + b)\right)^2}{2(a\sigma)^2}}$
此式表明$Y$服从$N(a\mu + b, a^2\sigma^2)$。

步骤4：验证期望与方差

  • 期望：$E(Y) = aE(X) + b = a\mu + b$
  • 方差：$\text{Var}(Y) = a^2\text{Var}(X) = a^2\sigma^2$

结论：$Y$的均值和方差符合正态分布的参数形式，因此$Y$服从正态分布。