使用 OpenCV 标定某红外相机，得到径向畸变系数 k_1、k_2、k_3 分别为 -0.48、0.32、-0.13，求以原点为中心、边长为 0.8（图像宽度的 0.8）的正方形的四个顶点及各边中点经过畸变分别到了什么位置，并以此判断此畸变是属于枕形畸变，还是属于桶形畸变（假设主轴和畸变中心都在图像坐标原点）。

考查要点：本题主要考查径向畸变公式的应用及不同畸变类型的判断。
解题思路：

1. 径向畸变公式：根据公式 $r' = r (1 + k_1 r^2 + k_2 r^4 + k_3 r^6)$，计算各点畸变后的径向距离 $r'$。
2. 坐标变换：将原始坐标 $(x, y)$ 转换为极坐标 $(r, \theta)$，代入公式计算 $r'$，再转换回笛卡尔坐标 $(x', y')$。
3. 畸变类型判断：通过比较 $r'$ 与 $r$ 的大小关系，判断图像边缘是向外扩展（枕形）还是向内压缩（桶形）。

正方形顶点及中点坐标

• 顶点坐标：以原点为中心，边长为 $0.8$ 的正方形顶点为 $(\pm 0.4, \pm 0.4)$。
• 边中点坐标：各边中点为 $(0, \pm 0.4)$、$(\pm 0.4, 0)$。

畸变计算步骤

1. 计算原始径向距离 $r$

• 顶点：$r = \sqrt{0.4^2 + 0.4^2} = 0.4\sqrt{2} \approx 0.566$
• 边中点：$r = 0.4$

2. 代入径向畸变公式计算 $r'$

以顶点为例：
$\begin{aligned}r' &= 0.566 \left( 1 + (-0.48)(0.566^2) + 0.32(0.566^4) + (-0.13)(0.566^6) \right) \\&\approx 0.566 \left( 1 - 0.1536 + 0.0328 - 0.0043 \right) \\&\approx 0.566 \times 0.8749 \approx 0.495\end{aligned}$

以边中点为例：
$\begin{aligned}r' &= 0.4 \left( 1 + (-0.48)(0.4^2) + 0.32(0.4^4) + (-0.13)(0.4^6) \right) \\&\approx 0.4 \left( 1 - 0.0768 + 0.0082 - 0.0005 \right) \\&\approx 0.4 \times 0.9309 \approx 0.372\end{aligned}$

3. 计算畸变后坐标

• 顶点：原坐标 $(x, y)$ 乘以 $\frac{r'}{r}$，如 $(0.4, 0.4) \times \frac{0.495}{0.566} \approx (0.351, 0.351)$。
• 边中点：原坐标直接乘以 $\frac{r'}{r}$，如 $(0, 0.4) \times \frac{0.372}{0.4} = (0, 0.372)$。

畸变类型判断

所有点的 $r' < r$，说明图像边缘被向内压缩，属于桶形畸变。