假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X盒，它服从区间[200，400]上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔3元。问小店应组织（）盒冰淇淋，才能使平均收益最大？A. 200 B. 250 C. 300 D. 400

考查要点：本题主要考查均匀分布的期望计算以及二次函数求极值的应用。关键在于建立收益函数并计算其期望值，再通过求导或配方法找到最大值点。

解题思路：

1. 明确收益模型：根据题目描述，当组织的冰淇淋数量$y$与需求量$X$的关系不同，收益表达式不同。
2. 分段计算期望：利用均匀分布的概率密度函数，将收益函数分段积分，得到期望表达式。
3. 求极值：将期望表达式转化为二次函数，通过顶点公式或求导找到使期望最大的$y$值。

破题关键：正确建立收益函数并准确计算其期望值，再通过二次函数的性质确定最大值点。

设应组织$y$盒冰淇淋，收益为随机变量$Y$，则：

• 当$X \geq y$时，所有$y$盒均售出，收益为$Y = y$；
• 当$X < y$时，售出$X$盒，剩余$y - X$盒赔款，收益为$Y = X - 3(y - X) = 4X - 3y$。

期望收益计算：
$E(Y) = \int_{200}^{400} g(x) f(x) \, dx = \frac{1}{200} \left[ \int_{200}^{y} (4x - 3y) \, dx + \int_{y}^{400} y \, dx \right]$

分步计算：

1. 第一部分积分（$200 \leq x < y$）：
   $\int_{200}^{y} (4x - 3y) \, dx = \left[ 2x^2 - 3yx \right]_{200}^{y} = \left( 2y^2 - 3y^2 \right) - \left( 2 \cdot 200^2 - 3y \cdot 200 \right) = -y^2 - 80000 + 600y$

2. 第二部分积分（$y \leq x \leq 400$）：
   $\int_{y}^{400} y \, dx = y \cdot (400 - y)$

3. 合并结果：
   $E(Y) = \frac{1}{200} \left[ (-y^2 - 80000 + 600y) + y(400 - y) \right] = \frac{-2y^2 + 1000y - 80000}{200}$

4. 化简为二次函数：
   $E(Y) = -0.01y^2 + 5y - 400$

求最大值：二次函数开口向下，顶点横坐标为：
$y = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot (-0.01)} = 250$