题目

.9-16 如习题 9-16 图所示,当曲柄O1A以匀角速度w绕O1顺时针转至图示瞬时位置-|||-时,滑块B获得大小已知、方向向右的速度v和加速度a。已知 _(2)C=r ,BC=l 。试求:图-|||-示瞬时O2C杆的角速度、角加速度和BC杆的角加速度。-|||-C-|||-A B ∠ a-|||-77 O2-|||-O1-|||-7-|||-习题 9-16 图

题目解答

答案

解析

本题主要考查刚体平面运动的速度和加速度分析，解题的关键在于利用速度瞬心法和加速度合成定理来求解各杆的角速度和角加速度。

1. 求$O_2C$杆的角速度$\omega$

  • 由于$O_2C$杆绕$O_2$点做定轴转动，根据定轴转动刚体上点的速度公式$v = r\omega$（其中$v$为点的速度，$r$为点到转动轴的距离，$\omega$为角速度）。
  • 已知滑块$B$的速度$v$，且$B$点在$O_2C$杆上，$B$点到$O_2$点的距离为$r$，则$O_2C$杆的角速度$\omega$为：
    $\omega=\frac{v}{r}$
  • 因为滑块$B$速度速度向右运动，所以$O_2C$杆顺时针转动。

2. 求$O_2C$杆的角加速度$\alpha_{O_2C}$

  • 对$B$点进行加速度分析，$B$点的加速度$\vec{a}_B$由两部分组成：切向加速度$\vec{a}_{B}^t$和法向加速度$\vec{a}_{B}^n$。
    • 切向加速度$a_{B}^t = r\alpha_{OC}$（$\alpha_{O_2C}$为$O_2C$杆的角加速度）。
    • 法向加速度$a_{B}^n = r\omega^2$，将$\omega=\frac{v}{r}$代入可得$a_{B}^n = r(\frac{v}{r})^2=\frac{v^2}{r}$。
  • 过$C$点作$BC$的垂线，与$B$点加速度方向的延长线相交于$D$点，$D$点为$BC$杆的速度瞬心。
  • 根据几何关系，$BD=\sqrt{l^2 - r^2}$。
  • 对$B$点应用加速度合成定理$\vec{a}_B=\vec{a}_C+\vec{a}_{B/C}^t+\vec{a}_{B/C}^n$，其中$\vec{a}_C$为$C$点的加速度，$\vec{a}_{B/C}^t$为$B$点相对于$C$点的切向加速度，$\vec{a}_{B/C}^n$为$B$点相对于$C$点的法向加速度。
  • 由于$C$点在$O_2C$杆上，$a_C = r\alpha_{O_2C}$，$a_{B/C}^n = l\omega_{BC}^2$（$\omega_{BC}$为$BC$杆的角速度），$a_{B/C}^t = l\alpha_{BC}$（$\alpha_{BC}$为$BC$杆的角加速度）。
  • 因为$B$点的加速度方向向右，$C$点的加速度方向沿$O_2C$杆，$B$点相对于$C$点的法向加速度方向沿$BC$杆指向$C$点，切向加速度方向垂直于$BC$杆。
  • 根据加速度投影定理，将$\vec{a}_B$、$\vec{a}_C$、$\vec{a}_{B/C}^t$、$\vec{a}_{B/C}^n$投影到$BD$方向上，可得：
    $a = a_{B}^t\cos\theta + a_{B}^n\sin\theta$
    其中$\cos\theta=\frac{r}{l}$，$\sin\theta=\frac{\sqrt{l^2 - r^2}}{l}$。
  • 将$a_{B}^t = r\alpha_{O_2C}$，$a_{B}^n = \frac{v^2}{r}$代入上式可得：
    $a = r\alpha_{O_2C}\frac{r}{l}+\frac{v^2}{r}\frac{\sqrt{l^2 - r^2}}{l}$
  • 整理可得：
    $\alpha_{O_2C}=\frac{1}{r}(a+\frac{v^2}{\sqrt{l^2 - r^2}})$
  • 因为滑块$B$向右加速运动，所以$O_2C$杆顺时针转动。

3. 求$BC$杆的角加速度$\alpha_{BC}$

  • 由$B$点的速度$v$和$BD=\sqrt{l^2 - r^2}$，根据速度瞬心法可得$BC$杆的角速度$\omega_{BC}=\frac{v}{\sqrt{l^2 - r^2}}$。
  • 对$B$点应用加速度合成定理$\vec{a}_B=\vec{a}_C+\vec{a}_{B/C}^t+\vec{a}_{B/C}^n$，将各加速度投影到垂直于$BC$的方向上，可得：
    $0 = a_{B}^t\sin\theta - a_{B}^n\cos\theta + a_{B/C}^t$
  • 将$a_{B}^t = r\alpha_{O_2C}$，$a_{B}^n = \frac{v^2}{r}$，$a_{B/C}^t = l\alpha_{BC}$，$\cos\theta=\frac{r}{l}$，$\sin\theta=\frac{\sqrt{l^2 - r^2}}{l}$代入上式可得：
    $0 = r\alpha_{O_2C}\frac{\sqrt{l^2 - r^2}}{l}-\frac{v^2}{r}\frac{r}{l}+l\alpha_{BC}$
  • 将$\alpha_{O_2C}=\frac{1}{r}(a+\frac{v^2}{\sqrt{l^2 - r^2}})$代入上式，整理可得：
    $\alpha_{BC}=\frac{v^2}{r\sqrt{l^2 - r^2}}$
  • 因为滑块$B$向右加速运动，所以$BC$杆顺时针转动。