22.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1与X2均服从标准正态分布，X3的概率分布为P(X3＝0)＝P(X3＝1)＝1/2，Y＝X3X1＋（1－X3）X2。（1）求二维随机变量（X1，Y）的分布函数，结果用标准正态分布函数Φ（x）表示。（2）证明随机变量Y服从标准正态分布。

考查要点：本题主要考查随机变量的混合分布、条件概率的运用以及标准正态分布的性质。

解题思路：

1. 理解Y的构造：Y根据X3的取值（0或1）分别取X2或X1，因此Y是X1和X2的混合分布。
2. 分布函数的拆分：利用全概率公式，将(X1,Y)的联合分布拆分为X3=0和X3=1两种情况下的概率之和。
3. 独立性分析：当X3=0时，Y=X2与X1独立；当X3=1时，Y=X1与X1完全相关，需分别处理。
4. 标准正态分布的混合性质：Y的分布是X1和X2的平均，结合独立性和对称性可得Y服从标准正态分布。

第（1）题

关键步骤：

1. 拆分情况：根据X3的取值，将联合概率拆分为两部分：
   • 当X3=0时：Y=X2，此时X1与Y独立，联合概率为$\frac{1}{2}\Phi(x)\Phi(y)$。
   • 当X3=1时：Y=X1，此时X1与Y完全相关，联合概率为$\frac{1}{2}\Phi(\min(x,y))$。
2. 合并结果：将两种情况的概率相加，得到最终的分布函数。

分情况讨论：

• 当$x \leq y$时：$\min(x,y)=x$，此时：
  $F(x,y) = \frac{1}{2}\Phi(x)\Phi(y) + \frac{1}{2}\Phi(x) = \frac{1}{2}\Phi(x)(\Phi(y)+1)$
• 当$x > y$时：$\min(x,y)=y$，此时：
  $F(x,y) = \frac{1}{2}\Phi(x)\Phi(y) + \frac{1}{2}\Phi(y) = \frac{1}{2}\Phi(y)(\Phi(x)+1)$

最终表达式：
$F(x,y) = \begin{cases}\frac{1}{2}\Phi(x)(\Phi(y)+1), & x \leq y \\\frac{1}{2}\Phi(y)(\Phi(x)+1), & x > y\end{cases}$

第（2）题

关键步骤：

1. 拆分Y的分布：利用全概率公式，将Y的分布函数拆分为X3=0和X3=1两种情况：
   • 当X3=0时：$Y=X2$，概率为$\frac{1}{2}\Phi(y)$。
   • 当X3=1时：$Y=X1$，概率为$\frac{1}{2}\Phi(y)$。
2. 合并结果：两种情况的概率相加，得到：
   $F_Y(y) = \frac{1}{2}\Phi(y) + \frac{1}{2}\Phi(y) = \Phi(y)$
3. 结论：Y的分布函数为标准正态分布函数，故Y服从标准正态分布。