题目
22.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1与X2均服从标准正态分布，X3的概率分布为P(X3＝0)＝P(X3＝1)＝1/2，Y＝X3X1＋（1－X3）X2。（1）求二维随机变量（X1，Y）的分布函数，结果用标准正态分布函数Φ（x）表示。（2）证明随机变量Y服从标准正态分布。
22.
设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1与X2均服从标准正态分布，X3的概率分布为P{X3＝0}＝P{X3＝1}＝1/2，Y＝X3X1＋（1－X3）X2。
（1）求二维随机变量（X1，Y）的分布函数，结果用标准正态分布函数Φ（x）表示。
（2）证明随机变量Y服从标准正态分布。
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步骤 1：求二维随机变量（X1，Y）的分布函数
根据题目条件，Y = X3X1 + (1 - X3)X2，其中X3的概率分布为P{X3＝0}＝P{X3＝1}＝1/2。因此，Y的取值依赖于X3的取值。当X3=0时，Y=X2；当X3=1时，Y=X1。因此，二维随机变量（X1，Y）的分布函数可以表示为：
$F(x,y)=P({X}_{1}\leqslant x,Y\leqslant y)$
$=P\{ {X}_{1}\leqslant {x}_{2}{X}_{3}({X}_{1}-{X}_{2})+{X}_{2}\leqslant {y}_{2}{X}_{3}=0\} +P({X}_{1}\leqslant {x}_{2}{X}_{3}({X}_{1}-{X}_{2})+{X}_{2}\leqslant {y}_{2}{X}_{3}=1\}$
$=P\{ {X}_{1}\leqslant {x}_{1}{X}_{2}\leqslant {y}_{1}{X}_{3}=0\} +P({X}_{1}\leqslant {x}_{1}{X}_{1}\leqslant {y}_{1}{X}_{3}=1\}$
当$x\leqslant y$时，$P\{ {X}_{1}\leqslant {x}_{1}{X}_{2}\leqslant {y}_{1}{X}_{3}=1\} =\dfrac {1}{2}P\{ {X}_{1}\leqslant x\} =\dfrac {1}{2}\phi (x)$
当$x\gt y$时，$P\{ {X}_{1}\leqslant {x}_{1}{X}_{1}\leqslant {y}_{1}{X}_{3}=1\} =\dfrac {1}{2}P\{ {X}_{2}\leqslant y\} =\dfrac {1}{2}\phi (y)$
因此，二维随机变量（X1，Y）的分布函数为：
$F(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2}\phi (y)+\dfrac {1}{2}\phi (x),x\leqslant y\\ \dfrac {1}{2}\phi (x)+\dfrac {1}{2}\phi (y),x\gt y\end{matrix} \right.$
步骤 2：证明随机变量Y服从标准正态分布
$F_{Y}(y)=P\{ Y\leqslant y\} =P\{ {X}_{3}({X}_{1}-{X}_{2})+{X}_{2}\leqslant y\}$
$=\dfrac {1}{2}P({X}_{3}({X}_{1}-{X}_{2})+{X}_{2}\leqslant y|{X}_{3}=0)+\dfrac {1}{2}P({X}_{3}({X}_{1}-{X}_{2})+{X}_{2}\leqslant y|{X}_{3}=1)$
$=\dfrac {1}{2}P\{ {X}_{2}\leqslant y|{X}_{3}=0\} +\dfrac {1}{2}P\{ {X}_{1}\leqslant y|{X}_{3}=1\}$
$=\dfrac {1}{2}\phi (y)+\dfrac {1}{2}\phi (y)=\phi (y)$
因此，随机变量Y服从标准正态分布。
根据题目条件，Y = X3X1 + (1 - X3)X2，其中X3的概率分布为P{X3＝0}＝P{X3＝1}＝1/2。因此，Y的取值依赖于X3的取值。当X3=0时，Y=X2；当X3=1时，Y=X1。因此，二维随机变量（X1，Y）的分布函数可以表示为：
$F(x,y)=P({X}_{1}\leqslant x,Y\leqslant y)$
$=P\{ {X}_{1}\leqslant {x}_{2}{X}_{3}({X}_{1}-{X}_{2})+{X}_{2}\leqslant {y}_{2}{X}_{3}=0\} +P({X}_{1}\leqslant {x}_{2}{X}_{3}({X}_{1}-{X}_{2})+{X}_{2}\leqslant {y}_{2}{X}_{3}=1\}$
$=P\{ {X}_{1}\leqslant {x}_{1}{X}_{2}\leqslant {y}_{1}{X}_{3}=0\} +P({X}_{1}\leqslant {x}_{1}{X}_{1}\leqslant {y}_{1}{X}_{3}=1\}$
当$x\leqslant y$时，$P\{ {X}_{1}\leqslant {x}_{1}{X}_{2}\leqslant {y}_{1}{X}_{3}=1\} =\dfrac {1}{2}P\{ {X}_{1}\leqslant x\} =\dfrac {1}{2}\phi (x)$
当$x\gt y$时，$P\{ {X}_{1}\leqslant {x}_{1}{X}_{1}\leqslant {y}_{1}{X}_{3}=1\} =\dfrac {1}{2}P\{ {X}_{2}\leqslant y\} =\dfrac {1}{2}\phi (y)$
因此，二维随机变量（X1，Y）的分布函数为：
$F(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2}\phi (y)+\dfrac {1}{2}\phi (x),x\leqslant y\\ \dfrac {1}{2}\phi (x)+\dfrac {1}{2}\phi (y),x\gt y\end{matrix} \right.$
步骤 2：证明随机变量Y服从标准正态分布
$F_{Y}(y)=P\{ Y\leqslant y\} =P\{ {X}_{3}({X}_{1}-{X}_{2})+{X}_{2}\leqslant y\}$
$=\dfrac {1}{2}P({X}_{3}({X}_{1}-{X}_{2})+{X}_{2}\leqslant y|{X}_{3}=0)+\dfrac {1}{2}P({X}_{3}({X}_{1}-{X}_{2})+{X}_{2}\leqslant y|{X}_{3}=1)$
$=\dfrac {1}{2}P\{ {X}_{2}\leqslant y|{X}_{3}=0\} +\dfrac {1}{2}P\{ {X}_{1}\leqslant y|{X}_{3}=1\}$
$=\dfrac {1}{2}\phi (y)+\dfrac {1}{2}\phi (y)=\phi (y)$
因此，随机变量Y服从标准正态分布。