题目

设随机变量X表示某种疾病患者的生存时间（单位:年），且X~N(5,2^2)，则生存时间超过7年的概率 A. 0.1587B. 0.6826C. 0.8413D. 0.3413

设随机变量X表示某种疾病患者的生存时间（单位:年），且X~N(5,2^2)，则生存时间超过7年的概率

  • A. 0.1587
  • B. 0.6826
  • C. 0.8413
  • D. 0.3413

题目解答

答案

为了求解随机变量 $X$ 表示的某种疾病的生存时间超过7年的概率，其中 $X \sim N(5, 2^2)$，我们可以按照以下步骤进行： 1. **确定正态分布的参数：** - 均值 $\mu = 5$ - 标准差 $\sigma = 2$ 2. **将 survival time $X = 7$ 转换为标准正态分布 $Z$：** \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{7 - 5}{2} = 1 \] 3. **求 $Z > 1$ 的概率：** - 首先，找到 $Z < 1$ 的概率，即 $P(Z < 1)$。 - 使用标准正态分布表或计算器，我们发现 $P(Z < 1) \approx 0.8413$。 4. **计算 $Z > 1$ 的概率：** \[ P(Z > 1) = 1 - P(Z < 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587 \] 因此，生存时间超过7年的概率是 $0.1587$。 答案是 $\boxed{A}$。

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及标准化转换和标准正态分布表的使用。

解题核心思路：

  1. 标准化转换：将给定的正态分布变量转化为标准正态分布变量 $Z$，便于利用标准正态分布表查找概率。
  2. 概率计算：通过标准正态分布表确定 $Z$ 值对应的累积概率，再根据题意计算右侧尾部概率。

破题关键点：

  • 正确计算标准化后的 $Z$ 值：公式为 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
  • 理解右侧概率的计算方式：$P(X > x) = 1 - P(X \leq x)$，对应标准正态分布中的 $P(Z > z) = 1 - P(Z \leq z)$。

  1. 标准化转换
    已知 $X \sim N(5, 2^2)$，即 $\mu = 5$，$\sigma = 2$。
    将 $X = 7$ 转换为标准正态分布变量：
    $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{7 - 5}{2} = 1$

  2. 查找标准正态分布概率
    查标准正态分布表，$Z = 1$ 对应的累积概率为 $P(Z \leq 1) = 0.8413$。

  3. 计算右侧概率
    生存时间超过7年的概率为：
    $P(X > 7) = P(Z > 1) = 1 - P(Z \leq 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587$