第七章 应力和应变分析 强度理论[例题7.1] 试用解析法求如图7.5(a)所示平面应力状态的主应力和主平面方位。解法1:(1) 求主应力 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x所以, 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x, 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x, 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x。 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )xA. B. C. 图7.5 例题7.1图 D. (2) 求主平面方位 E. 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x F. 因为 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x是正的,说明 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x在第一象限,故 G. 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x, 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x即为 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x所在截面的方位角。 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x和 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x的方向如图7.5(b)所示。 解法2:先确定主平面方位 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x在 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x范围内有两个解 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 即 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x, 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 下面确定哪个是 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x、哪个是 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x。 由 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x的判定规则可知, 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x一定发生在0~ 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x的截面上,因此在 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x和 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x中, 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x满足这一条件,故 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x,那么 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x所在方位角 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x。 将 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x代入斜截面应力公式(7-1),得 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 将 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x代入斜截面应力公式(7-1),可得 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x。 [例题7.2] 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图7.9(a)和图7.9(b)所示,梁的横截面尺寸如图7.9(c)所示。试分别绘出截面C(如图7.9(a)所示)上a和b两点处(如图7.9(c)所示)的应力圆,并用应力圆求出这两点处的主应力。 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 图7.9 例题7.2图 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 图7.9 (续) 所示)的惯性矩 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x和求a点处切应力时需用的静矩 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x等。 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 上a点处的应力为 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 点处单元体的x、y两平面上的应力,如图7.9(f)所示。在绘出坐标轴及选定适当的比例尺后,根据单元体上的应力值即可绘出相应的应力圆(如图7.9(g)所示)。由此图可见,应力圆与 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x轴的两交点 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x、 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x的横坐标分别代表a点处的两个主应力 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x和 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x,可按选定的比例尺量得,或由应力圆的几何关系求得 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 和 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x(压应力) 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 点处的主应力为 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x=150.4MPa, 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x=0, 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )xMPa。 上b点处的应力,由 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x可得 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 点处的切应力为零。 。 [例题7.3] 在受力物体上得某点处夹角为 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x的两截面上的应力如图7.10(a)所示。试用应力圆法求:(1)夹角 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x的值;(2)该点处的主应力和主平面方位。 解: (1) 作应力圆。选比例尺,建 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x坐标系。由 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x截面上的应力绘点 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x,由 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x截面上的应力绘点 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x。连接点 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x和 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x,作 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x的垂直平分线 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x交 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x轴于 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x,以点 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x为圆心, 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x为半径,作应力圆交 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x轴于 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x、 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x两点(如图7.10(b)所示)。 (2) 求夹角 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x的值。在图7.10(b)中量取 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x,则 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 图7.10 例题7.3图 (3) 求主应力和主平面方位。量取 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x,其方向由斜截面法向 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x顺时针转 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x; 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x,其方向与 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x方向垂直; 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x。 [例题7.4] 单元体各面上的应力如图7.14(a)所示。试作应力圆,并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位。 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 图7.14 例题7.4图 MPa和-26MPa。将该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x, 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x, 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 所示)。在其中最大的应力圆上,B点的纵坐标(该圆的半径)即为该单元体的最大切应力,其值为 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 且 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x,据此便可确定 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x主平面方位及其余各主平面的位置。其中最大切应力所在截面与 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x平行,与 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x和 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x所在的主平面各成 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x夹角,如图7.14(c)所示。 [例题7.5] 已知构件自由表面上某点处的两个主应变值为 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x, 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x。构件材料为Q235钢,其弹性模量E=210GPa,泊松比 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x=0.3。试求该点处的主应力数值,并求该点处另一主应变 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x的数值和方向。 解:由于主应力 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x与主应变 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x相对应,故根据题意可知该点处 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x,而处于平面应力状态。因此,由平面应力状态下的广义胡克定律得 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x, 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 联立上列两式,即可解得 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 求得 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 由此可见,主应变 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x是缩短,其方向必与 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x及 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x垂直,即沿构件表面的法线方向。 [例题7.6] 边长a=0.1m的铜立方块,无间隙地放入体积较大、变形可略去不计的钢凹槽中。如图7.15(a)所示。已知铜的弹性模量E=100GPa,泊松比 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x=0.34。当受到F=300kN的均匀压力作用时,试求铜块的主应力、体应变以及最大切应力。 解:铜块的横截面上的压应力为 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 可得 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 图7.15 题7.6图 、(b)两式,可得 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 按主应力的代数值顺序排列,得铜块的主应力为 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x, 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 将以上数据带入计算体积应变公式(7.14b),可得铜块的体积应变为 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 将有关的主应力值代入式(7-7),可得 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x [例题7.7] 某铸铁构件危险点处的应力如图7.17所示,若许用应力 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x,试校核其强度。 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 图7.17 例题7.7图 解:由图7.17可知, 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x和 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x截面的应力为 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x, 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x, 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 代入式(7-4),得 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 即主应力为 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x, 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x, 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 上式表明,主应力 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x虽为压应力,但其绝对值小于主应力 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x,所以,宜采用最大拉应力理论,即利用式(7-18)校核强度,显然 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 说明构件强度无问题。 [例题7.8] 试分别根据第三与第四强度理论,确定塑性材料在纯剪切时的许用 应力。 解:纯剪切应力状态下的主应力为 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x, 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x。于是,将主应力值代入 式(7-20)与式(7-21),分别得 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 由此得切应力 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x的最大允许值,即许用切应力分别为 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 因此,塑性材料在纯剪切时的许用应力 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x通常取为 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x~ 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x。 [例题7.9] 两端简支的工字梁承受荷载如图7.18(a)所示。已知材料Q235钢的许用应力为 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x和 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x。试按强度条件选择工字钢的号码。 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 图7.18 工字梁承受荷载 两截面上的弯矩和剪力均为最大值,所以这两个截面为危险截面。现取截面C计算,其剪力和弯矩分别为 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x和 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x。 的上、下边缘各点处,其应力状态为单轴应力状态,由强度条件 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x求出所需的截面系数为 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 号工字钢,则其截面的 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x。显然,这一截面满足正应力强度条件的要求。 号工字钢的截面,由型钢表查得 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 危险截面上的最大切应力发生在中性轴处,且为纯剪切应力状态,其最大切应力为 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 号工字钢满足切应力的强度条件。 点处的单元体(如图7.18(e)所示)。根据28a号工字钢截面简化后的尺寸(如图7.18(d)所示)和上面查得的 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x,求得横截面上a点处的正应力 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x和切应力 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x分别为 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 上面第二式中的 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x是横截面的下翼缘面积对中性轴的静矩,其值为 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 在如图7.18(e)所示的应力状态下,该点的三个主应力为 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x (1) 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 点是复杂应力状态,材料是Q235钢,按形状改变比能理论(第四强度理论)进行强度校核。以上述主应力代入式(7-21)后,得强度条件为 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 点处的 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x值代入上式得 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x 点处的 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x,较 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x大1.88%,没有超过5%,故选用28b号工 字钢。 代入式(7-20),可得第三强度理论相当应力为 0max 0min σx+σ y +V|=x/2 )x

第七章 应力和应变分析 强度理论

[例题7.1] 试用解析法求如图7.5(a)所示平面应力状态的主应力和主平面方位。

解法1:

(1) 求主应力

所以,,,。

A.
B.
C. 图7.5 例题7.1图
D. (2) 求主平面方位
E.
F. 因为是正的,说明在第一象限,故
G. ,
即为所在截面的方位角。和的方向如图7.5(b)所示。
解法2:先确定主平面方位

在范围内有两个解

即 ,
下面确定哪个是、哪个是。
由的判定规则可知,一定发生在0~的截面上,因此在和中,满足这一条件,故,那么所在方位角。
将代入斜截面应力公式(7-1),得
 


将代入斜截面应力公式(7-1),可得。
[例题7.2] 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图7.9(a)和图7.9(b)所示,梁的横截面尺寸如图7.9(c)所示。试分别绘出截面C(如图7.9(a)所示)上a和b两点处(如图7.9(c)所示)的应力圆,并用应力圆求出这两点处的主应力。

图7.9 例题7.2图

图7.9 (续)
所示)的惯性矩和求a点处切应力时需用的静矩等。



上a点处的应力为


点处单元体的x、y两平面上的应力,如图7.9(f)所示。在绘出坐标轴及选定适当的比例尺后,根据单元体上的应力值即可绘出相应的应力圆(如图7.9(g)所示)。由此图可见,应力圆与轴的两交点、的横坐标分别代表a点处的两个主应力和,可按选定的比例尺量得,或由应力圆的几何关系求得

和
(压应力)

点处的主应力为=150.4MPa,=0,MPa。
上b点处的应力,由可得

点处的切应力为零。
。
[例题7.3] 在受力物体上得某点处夹角为的两截面上的应力如图7.10(a)所示。试用应力圆法求:(1)夹角的值;(2)该点处的主应力和主平面方位。
解:
(1) 作应力圆。选比例尺,建坐标系。由截面上的应力绘点,由截面上的应力绘点。连接点和,作的垂直平分线交轴于,以点为圆心,为半径,作应力圆交轴于、两点(如图7.10(b)所示)。
(2) 求夹角的值。在图7.10(b)中量取,则




图7.10 例题7.3图
(3) 求主应力和主平面方位。量取,其方向由斜截面法向顺时针转;,其方向与方向垂直;。
[例题7.4] 单元体各面上的应力如图7.14(a)所示。试作应力圆,并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位。

图7.14 例题7.4图
MPa和-26MPa。将该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为
  ,,
所示)。在其中最大的应力圆上,B点的纵坐标(该圆的半径)即为该单元体的最大切应力,其值为
 
且,据此便可确定主平面方位及其余各主平面的位置。其中最大切应力所在截面与平行,与和所在的主平面各成夹角,如图7.14(c)所示。
[例题7.5] 已知构件自由表面上某点处的两个主应变值为,。构件材料为Q235钢,其弹性模量E=210GPa,泊松比=0.3。试求该点处的主应力数值,并求该点处另一主应变的数值和方向。
解:由于主应力与主应变相对应,故根据题意可知该点处,而处于平面应力状态。因此,由平面应力状态下的广义胡克定律得
,
联立上列两式,即可解得


求得

由此可见,主应变是缩短,其方向必与及垂直,即沿构件表面的法线方向。
[例题7.6] 边长a=0.1m的铜立方块,无间隙地放入体积较大、变形可略去不计的钢凹槽中。如图7.15(a)所示。已知铜的弹性模量E=100GPa,泊松比=0.34。当受到F=300kN的均匀压力作用时,试求铜块的主应力、体应变以及最大切应力。
解:铜块的横截面上的压应力为

可得



图7.15 题7.6图
、(b)两式,可得

按主应力的代数值顺序排列,得铜块的主应力为
,
将以上数据带入计算体积应变公式(7.14b),可得铜块的体积应变为

将有关的主应力值代入式(7-7),可得

[例题7.7] 某铸铁构件危险点处的应力如图7.17所示,若许用应力,试校核其强度。

图7.17 例题7.7图
解:由图7.17可知,和截面的应力为
,,
代入式(7-4),得


即主应力为
,,
上式表明,主应力虽为压应力,但其绝对值小于主应力,所以,宜采用最大拉应力理论,即利用式(7-18)校核强度,显然

说明构件强度无问题。
[例题7.8] 试分别根据第三与第四强度理论,确定塑性材料在纯剪切时的许用 应力。
解:纯剪切应力状态下的主应力为,。于是,将主应力值代入 式(7-20)与式(7-21),分别得


由此得切应力的最大允许值,即许用切应力分别为


因此,塑性材料在纯剪切时的许用应力通常取为~。
[例题7.9] 两端简支的工字梁承受荷载如图7.18(a)所示。已知材料Q235钢的许用应力为和。试按强度条件选择工字钢的号码。

图7.18 工字梁承受荷载

两截面上的弯矩和剪力均为最大值,所以这两个截面为危险截面。现取截面C计算,其剪力和弯矩分别为和。
的上、下边缘各点处,其应力状态为单轴应力状态,由强度条件求出所需的截面系数为

号工字钢,则其截面的。显然,这一截面满足正应力强度条件的要求。
号工字钢的截面,由型钢表查得



危险截面上的最大切应力发生在中性轴处,且为纯剪切应力状态,其最大切应力为

号工字钢满足切应力的强度条件。
点处的单元体(如图7.18(e)所示)。根据28a号工字钢截面简化后的尺寸(如图7.18(d)所示)和上面查得的,求得横截面上a点处的正应力和切应力分别为
 
 
上面第二式中的是横截面的下翼缘面积对中性轴的静矩,其值为
 
在如图7.18(e)所示的应力状态下,该点的三个主应力为
  (1)
 
点是复杂应力状态,材料是Q235钢,按形状改变比能理论(第四强度理论)进行强度校核。以上述主应力代入式(7-21)后,得强度条件为

点处的值代入上式得

点处的,较大1.88%,没有超过5%,故选用28b号工 字钢。
代入式(7-20),可得第三强度理论相当应力为