20.为调查某单位每个家庭每天观看电视的平均时间是多长,从该单位随机抽-|||-取了16户,得样本均值为6.75小时,样本标准差为2.25小时。-|||-(1)试对家庭每天平均看电视时间进行区间估计。-|||-(2)若已知该市每个家庭看电视时间的标准差为2.5小时,此时若再进行区-|||-间估计,并且将允许误差控制在(1)的水平,问此时需要调查多少户才能满足要-|||-求?( a=0.05 _(0.2)=2.131 ^0.2=1.96 )

考查要点：本题主要考查总体均值的区间估计及样本量的确定，涉及小样本与大样本的不同处理方法，以及允许误差的计算。

解题思路：

1. 第（1）题：

   • 小样本（$n=16<30$），使用t分布进行区间估计。
   • 关键公式：$\overline{X} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$，需注意自由度为$n-1$，并正确代入临界值$t_{0.2}=2.131$（对应$\alpha=0.05$双侧检验）。

2. 第（2）题：

   • 已知总体标准差$\sigma=2.5$，使用z分布，需保持允许误差与（1）相同。
   • 关键公式：$\Delta = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n_1}}$，通过变形公式计算最小样本量$n_1$，结果需向上取整。

破题关键：

• 区分t分布与z分布的适用条件（小样本且未知总体方差用t，大样本或已知总体方差用z）。
• 允许误差的计算与样本量的反向推导，注意单位一致性。

第（1）题

确定统计量与临界值

样本容量$n=16<30$，为小样本，总体方差未知，故使用t分布。
自由度$\nu = n-1 = 15$，查表得$t_{0.025,15} = 2.131$（对应$\alpha=0.05$双侧检验）。

计算标准误差

标准误差为$\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{2.25}{\sqrt{16}} = \frac{2.25}{4} = 0.5625$。

构建置信区间

置信区间为：
$\overline{X} \pm t_{\alpha/2, \nu} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 6.75 \pm 2.131 \times 0.5625 = [5.55, 7.95]$

第（2）题

确定允许误差

（1）中的允许误差为：
$\Delta = t_{\alpha/2, \nu} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 2.131 \times 0.5625 \approx 1.1987$

建立样本量公式

已知$\sigma=2.5$，需满足：
$\Delta = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n_1}} \implies \sqrt{n_1} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{\Delta}$

代入数值计算

$\sqrt{n_1} = \frac{1.96 \times 2.5}{1.1987} \approx 4.089 \implies n_1 \approx 4.089^2 \approx 16.71$

确定最小样本量

取整得$n_1=17$（样本量需为整数且满足条件）。