题目
20.为调查某单位每个家庭每天观看电视的平均时间是多长,从该单位随机抽-|||-取了16户,得样本均值为6.75小时,样本标准差为2.25小时。-|||-(1)试对家庭每天平均看电视时间进行区间估计。-|||-(2)若已知该市每个家庭看电视时间的标准差为2.5小时,此时若再进行区-|||-间估计,并且将允许误差控制在(1)的水平,问此时需要调查多少户才能满足要-|||-求?( a=0.05 _(0.2)=2.131 ^0.2=1.96 )
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定总体均值的区间估计
根据题意，样本容量 $n=16$，样本均值 $\overline{X}=6.75$ 小时，样本标准差 $s=2.25$ 小时。由于样本容量小于30，我们使用t分布进行区间估计。置信水平为95%，即 $\alpha=0.05$，自由度 $df=n-1=15$。查t分布表，得到 $t_{0.025,15}=2.131$。因此，总体均值的置信区间为：
$$
\overline{X} \pm t_{\alpha/2,df} \times \frac{s}{\sqrt{n}} = 6.75 \pm 2.131 \times \frac{2.25}{\sqrt{16}} = 6.75 \pm 1.20 = [5.55, 7.95]
$$
步骤 2：确定样本量
已知总体标准差 $\sigma=2.5$ 小时，允许误差 $\Delta=1.20$ 小时。使用z分布进行样本量的确定。置信水平为95%，即 $\alpha=0.05$，查z分布表，得到 $z_{0.025}=1.96$。因此，样本量的计算公式为：
$$
n = \left(\frac{z_{\alpha/2} \times \sigma}{\Delta}\right)^2 = \left(\frac{1.96 \times 2.5}{1.20}\right)^2 = 16.71
$$
由于样本量必须为整数，因此需要调查17户才能满足要求。
根据题意，样本容量 $n=16$，样本均值 $\overline{X}=6.75$ 小时，样本标准差 $s=2.25$ 小时。由于样本容量小于30，我们使用t分布进行区间估计。置信水平为95%，即 $\alpha=0.05$，自由度 $df=n-1=15$。查t分布表，得到 $t_{0.025,15}=2.131$。因此，总体均值的置信区间为：
$$
\overline{X} \pm t_{\alpha/2,df} \times \frac{s}{\sqrt{n}} = 6.75 \pm 2.131 \times \frac{2.25}{\sqrt{16}} = 6.75 \pm 1.20 = [5.55, 7.95]
$$
步骤 2：确定样本量
已知总体标准差 $\sigma=2.5$ 小时，允许误差 $\Delta=1.20$ 小时。使用z分布进行样本量的确定。置信水平为95%，即 $\alpha=0.05$，查z分布表，得到 $z_{0.025}=1.96$。因此，样本量的计算公式为：
$$
n = \left(\frac{z_{\alpha/2} \times \sigma}{\Delta}\right)^2 = \left(\frac{1.96 \times 2.5}{1.20}\right)^2 = 16.71
$$
由于样本量必须为整数，因此需要调查17户才能满足要求。