题目
5.设X1,X1,X1,...,nn是来自正态总体 sim N(mu ,(sigma )^2) 的一个样本,则下列各式中正确的是-|||-() .-|||-(A) ((dfrac {overline {X)-mu }(sigma ))}^2-(X)^2(1) ; (B) ((dfrac {overline {X)-mu }(sigma ))}^2-(x)^2(1):-|||-(C) ((dfrac {overline {X)-mu }(sigma ))}^2-t(1) ; (D) ((dfrac {overline {X)-mu }(sigma ))}^2-t(1).
题目解答
答案
解析
步骤 1：样本均值的分布
样本均值 $\overline{X}$ 是由 $n$ 个独立同分布的正态随机变量 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 组成的，每个 $X_i$ 都服从 $N(\mu, \sigma^2)$。因此，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布，即 $\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。
步骤 2：标准化样本均值
将样本均值 $\overline{X}$ 标准化，得到 $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$。由于 $\overline{X}$ 服从 $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$，标准化后的变量服从标准正态分布，即 $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$。
步骤 3：平方后的分布
将标准化后的样本均值平方，得到 ${(\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}})}^2$。由于标准化后的变量服从标准正态分布，其平方服从自由度为1的卡方分布，即 ${(\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}})}^2 \sim \chi^2(1)$。
步骤 4：选择正确的选项
根据上述分析，正确的选项是 $n{(\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma})}^2 \sim \chi^2(1)$，即选项 (B)。
样本均值 $\overline{X}$ 是由 $n$ 个独立同分布的正态随机变量 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 组成的，每个 $X_i$ 都服从 $N(\mu, \sigma^2)$。因此，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布，即 $\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。
步骤 2：标准化样本均值
将样本均值 $\overline{X}$ 标准化，得到 $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$。由于 $\overline{X}$ 服从 $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$，标准化后的变量服从标准正态分布，即 $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$。
步骤 3：平方后的分布
将标准化后的样本均值平方，得到 ${(\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}})}^2$。由于标准化后的变量服从标准正态分布，其平方服从自由度为1的卡方分布，即 ${(\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}})}^2 \sim \chi^2(1)$。
步骤 4：选择正确的选项
根据上述分析，正确的选项是 $n{(\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma})}^2 \sim \chi^2(1)$，即选项 (B)。