题目
2-1/半空间体,容重pg,在表面上受均布压力q作用,试按位移求解方法求出半空体的应力分量
2-1/半空间体,容重pg,在表面上受均布压力q作用,试按位移求解方法求出半空体的应力分量
题目解答
答案
1. 定义问题
考虑一个半空间体（例如 ( z < 0 ) 区域），在其表面（( z = 0 )）上施加均匀压力 ( q )。
2. 位移场
在弹性体中，位移场可以通过位移的成分表示为：
对于半空间，通常可以假设位移仅与 ( z ) 相关，即 ( u, v ) 可以忽略。
3. 应变与应力关系
使用线性弹性理论，采用应变与应力的关系：
其中
是材料的刚度矩阵，
是应变张量。
4. 位移与应变的关系
应变张量
可以通过位移场的梯度得到：
5. 边界条件
在 ( z = 0 ) 处的边界条件为：
并且在深度
处，通常假设应力趋向于零。
6. 应力分量的求解
对于半空间问题，可以使用平面应力或平面应变的理论，得到应力分量。特别是在考虑均匀压力的情况下，可以得到：
对于 ( z < 0 ) 的应力分量，利用平衡方程可以得到：
而对称性考虑，得出：
结果
综上所述，半空间体内的应力分量为：
这些表达式表示了在半空间体内，因均布压力 ( q ) 而产生的应力状态。
解析
步骤 1：定义问题
考虑一个半空间体（例如 ( z < 0 ) 区域），在其表面（( z = 0 )）上施加均匀压力 ( q )。
步骤 2：位移场
在弹性体中，位移场可以通过位移的成分表示为：
$u=u(x,y,z)$ . v=v(x,y,z) , $\omega =\omega (x,y,z)] $
对于半空间，通常可以假设位移仅与 ( z ) 相关，即 ( u, v ) 可以忽略。
步骤 3：应变与应力关系
使用线性弹性理论，采用应变与应力的关系：
${O}_{2}={C}_{2}kg\cdot {L}_{k}L$
其中$({C}_{2},{k}_{2})$ 是材料的刚度矩阵，(139)是应变张量。
步骤 4：位移与应变的关系
应变张量 可以通过位移场的梯度得到：
$[ {e}_{i}j=\dfrac {1}{2}(\dfrac {\partial {u}_{i}}{\partial {x}_{j}}+\dfrac {\partial {u}_{j}}{\partial {x}_{2}})] $
步骤 5：边界条件
在 ( z = 0 ) 处的边界条件为：
[${O}_{22}=-9] $
并且在深度$(\infty -\dfrac {1}{2})$处，通常假设应力趋向于零。
步骤 6：应力分量的求解
对于半空间问题，可以使用平面应力或平面应变的理论，得到应力分量。特别是在考虑均匀压力的情况下，可以得到：
${\sigma }_{2z}=-q$ (在表面)]
对于 ( z < 0 ) 的应力分量，利用平衡方程可以得到：
${O}_{2x}={O}_{3y}=\dfrac {q}{2}$ .(在深度逐渐增加时)]
而对称性考虑，得出：
$[ 0=6x-0] $
考虑一个半空间体（例如 ( z < 0 ) 区域），在其表面（( z = 0 )）上施加均匀压力 ( q )。
步骤 2：位移场
在弹性体中，位移场可以通过位移的成分表示为：
$u=u(x,y,z)$ . v=v(x,y,z) , $\omega =\omega (x,y,z)] $
对于半空间，通常可以假设位移仅与 ( z ) 相关，即 ( u, v ) 可以忽略。
步骤 3：应变与应力关系
使用线性弹性理论，采用应变与应力的关系：
${O}_{2}={C}_{2}kg\cdot {L}_{k}L$
其中$({C}_{2},{k}_{2})$ 是材料的刚度矩阵，(139)是应变张量。
步骤 4：位移与应变的关系
应变张量 可以通过位移场的梯度得到：
$[ {e}_{i}j=\dfrac {1}{2}(\dfrac {\partial {u}_{i}}{\partial {x}_{j}}+\dfrac {\partial {u}_{j}}{\partial {x}_{2}})] $
步骤 5：边界条件
在 ( z = 0 ) 处的边界条件为：
[${O}_{22}=-9] $
并且在深度$(\infty -\dfrac {1}{2})$处，通常假设应力趋向于零。
步骤 6：应力分量的求解
对于半空间问题，可以使用平面应力或平面应变的理论，得到应力分量。特别是在考虑均匀压力的情况下，可以得到：
${\sigma }_{2z}=-q$ (在表面)]
对于 ( z < 0 ) 的应力分量，利用平衡方程可以得到：
${O}_{2x}={O}_{3y}=\dfrac {q}{2}$ .(在深度逐渐增加时)]
而对称性考虑，得出：
$[ 0=6x-0] $