题目
从一批零件抽取 9 个 样本,测得样本均值 overline (c)=12 s=3,零件的长度近似服从正态分布,overline (c)=12 s=3未知,则总体均值overline (c)=12 s=3的置信水平为 0.95 的置信区间为_.(保留小数点后三位)[overline (c)=12 s=3overline (c)=12 s=3]
从一批零件抽取 9 个 样本,测得样本均值 
,零件的长度近似服从正态分布,
未知,则总体均值
的置信水平为 0.95 的置信区间为_.(保留小数点后三位)[
]
题目解答
答案
对于单正态分布，方差未知的情况下，可以构造统计量
。
所以，总体均值的置信区间为
。
代入数据，可得总体均值的置信区间为
解析
步骤 1：确定统计量
由于样本量较小（n=9），且总体方差未知，我们使用t分布来构造置信区间。统计量为$T = \dfrac{\sqrt{n}(\overline{x} - \mu)}{s}$，其中$\overline{x}$是样本均值，$\mu$是总体均值，$s$是样本标准差，$n$是样本量。
步骤 2：计算置信区间
置信水平为0.95，自由度为n-1=8，查t分布表得$t_{0.025}(8)=2.3060$。置信区间为$\overline{x} \pm t_{0.025}(8) \dfrac{s}{\sqrt{n}}$。
步骤 3：代入数据
代入$\overline{x}=12$，$s=3$，$n=9$，$t_{0.025}(8)=2.3060$，计算得$12 \pm 2.3060 \dfrac{3}{\sqrt{9}}$。
步骤 4：计算结果
计算得$12 \pm 2.3060 \times 1 = 12 \pm 2.3060$，即$[9.694, 14.306]$。
由于样本量较小（n=9），且总体方差未知，我们使用t分布来构造置信区间。统计量为$T = \dfrac{\sqrt{n}(\overline{x} - \mu)}{s}$，其中$\overline{x}$是样本均值，$\mu$是总体均值，$s$是样本标准差，$n$是样本量。
步骤 2：计算置信区间
置信水平为0.95，自由度为n-1=8，查t分布表得$t_{0.025}(8)=2.3060$。置信区间为$\overline{x} \pm t_{0.025}(8) \dfrac{s}{\sqrt{n}}$。
步骤 3：代入数据
代入$\overline{x}=12$，$s=3$，$n=9$，$t_{0.025}(8)=2.3060$，计算得$12 \pm 2.3060 \dfrac{3}{\sqrt{9}}$。
步骤 4：计算结果
计算得$12 \pm 2.3060 \times 1 = 12 \pm 2.3060$，即$[9.694, 14.306]$。