设某次考试的学生成绩 X sim N(mu, sigma^2)，从中随机抽取 36 位考生的成绩，算得平均成绩为 77 分，样本标准差为 12 分。问是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 80 分？(alpha = 0.05, t_(0.025)(35) = 2.0301)

我们来一步步解决这个统计假设检验问题。 --- ### **题目理解：** - 总体服从正态分布 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $。 - 从总体中随机抽取了 36 位考生的成绩，得到： - 样本均值 $ \bar{x} = 77 $ - 样本标准差 $ s = 12 $ - 要检验的是：这次考试全体考生的平均成绩是否为 80 分？ - 显著性水平 $ \alpha = 0.05 $ - 给出的临界值是 $ t_{0.025}(35) = 2.0301 $ --- ### **一、提出假设** 我们进行的是一个 **双侧假设检验**，因为题目问的是“是否可以认为平均成绩为 80 分”，即检验总体均值是否等于某个值。 - 原假设 $ H_0: \mu = 80 $ - 备择假设 $ H_1: \mu \ne 80 $ --- ### **二、选择检验统计量** 由于总体标准差 $ \sigma $ 未知，使用 **样本标准差 $ s $** 来代替，因此应该使用 **t 检验**。 检验统计量为： $$ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} $$ 其中： - $ \bar{x} = 77 $：样本均值 - $ \mu_0 = 80 $：原假设中的总体均值 - $ s = 12 $：样本标准差 - $ n = 36 $：样本容量 代入计算： $$ t = \frac{77 - 80}{12 / \sqrt{36}} = \frac{-3}{12 / 6} = \frac{-3}{2} = -1.5 $$ --- ### **三、确定拒绝域** 自由度 $ df = n - 1 = 35 $ 由于是双侧检验，拒绝域为： $$ |t| > t_{0.025}(35) = 2.0301 $$ --- ### **四、判断是否拒绝原假设** 计算得到的统计量为： $$ t = -1.5 $$ 绝对值为： $$ |t| = 1.5 < 2.0301 $$ 因此，**不拒绝原假设**。 --- ### **五、结论** 在显著性水平 $ \alpha = 0.05 $ 下，**没有足够的证据拒绝原假设**，即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 80 分。 --- ### **最终答案：** $$ \boxed{\text{可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 80 分。}} $$