题目
8.14 如图示,作用在变截面钢轴上的外力偶矩 _(1)=4.2kNcdot m ,_(2)=1.2kNcdot m 。材-|||-料的许用切应力 [ r] =50MPa ,切变模量 G=80GPa ,轴的几何尺寸 _(1)=80mm ,_(2)=50mm ,-|||-._(1)=750mm ,_(2)=500mm 。(1)作轴的扭矩图;(2)校核轴的强度;(3)求相对扭转角φAC。-|||-M1 M2-|||-A-|||-C B-|||-日 l1 l2-|||-题8.14图
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算扭矩
首先，我们需要计算轴在不同截面上的扭矩。扭矩图是表示轴上各点扭矩大小的图形。对于变截面轴，扭矩图将显示扭矩在不同截面处的变化。
- 在截面A处，扭矩为${M}_{1}=4.2kN\cdot m$。
- 在截面B处，扭矩为${M}_{1}-{M}_{2}=4.2kN\cdot m-1.2kN\cdot m=3.0kN\cdot m$。
- 在截面C处，扭矩为${M}_{1}-{M}_{2}=3.0kN\cdot m$。
步骤 2：校核轴的强度
轴的强度校核是通过比较轴的最大切应力与材料的许用切应力来完成的。最大切应力出现在轴的最小直径处，即${d}_{2}=50mm$。
- 最大切应力计算公式为$\tau_{max}=\frac{16M}{\pi d^3}$，其中$M$是扭矩，$d$是直径。
- 对于截面B和C，$M=3.0kN\cdot m$，$d=50mm$，代入公式得$\tau_{max}=\frac{16\times3.0\times10^3}{\pi\times50^3}=15.28MPa$。
- 由于$\tau_{max}=15.28MPa<[r]=50MPa$，所以轴的强度满足要求。
步骤 3：计算相对扭转角
相对扭转角是轴在扭矩作用下产生的角度变形。计算公式为$\varphi=\frac{ML}{GJ}$，其中$M$是扭矩，$L$是长度，$G$是切变模量，$J$是极惯性矩。
- 对于截面A到B，$M=4.2kN\cdot m$，$L=750mm$，$G=80GPa$，$J=\frac{\pi d^4}{32}=\frac{\pi\times80^4}{32}=1.2566\times10^7mm^4$，代入公式得$\varphi_{AB}=\frac{4.2\times10^3\times750}{80\times10^3\times1.2566\times10^7}=-0.298^{\circ}$。
- 对于截面B到C，$M=3.0kN\cdot m$，$L=500mm$，$G=80GPa$，$J=\frac{\pi d^4}{32}=\frac{\pi\times50^4}{32}=6.136\times10^6mm^4$，代入公式得$\varphi_{BC}=\frac{3.0\times10^3\times500}{80\times10^3\times6.136\times10^6}=-0.030^{\circ}$。
- 因此，相对扭转角$\varphi_{AC}=\varphi_{AB}+\varphi_{BC}=-0.298^{\circ}-0.030^{\circ}=-0.328^{\circ}$。
首先，我们需要计算轴在不同截面上的扭矩。扭矩图是表示轴上各点扭矩大小的图形。对于变截面轴，扭矩图将显示扭矩在不同截面处的变化。
- 在截面A处，扭矩为${M}_{1}=4.2kN\cdot m$。
- 在截面B处，扭矩为${M}_{1}-{M}_{2}=4.2kN\cdot m-1.2kN\cdot m=3.0kN\cdot m$。
- 在截面C处，扭矩为${M}_{1}-{M}_{2}=3.0kN\cdot m$。
步骤 2：校核轴的强度
轴的强度校核是通过比较轴的最大切应力与材料的许用切应力来完成的。最大切应力出现在轴的最小直径处，即${d}_{2}=50mm$。
- 最大切应力计算公式为$\tau_{max}=\frac{16M}{\pi d^3}$，其中$M$是扭矩，$d$是直径。
- 对于截面B和C，$M=3.0kN\cdot m$，$d=50mm$，代入公式得$\tau_{max}=\frac{16\times3.0\times10^3}{\pi\times50^3}=15.28MPa$。
- 由于$\tau_{max}=15.28MPa<[r]=50MPa$，所以轴的强度满足要求。
步骤 3：计算相对扭转角
相对扭转角是轴在扭矩作用下产生的角度变形。计算公式为$\varphi=\frac{ML}{GJ}$，其中$M$是扭矩，$L$是长度，$G$是切变模量，$J$是极惯性矩。
- 对于截面A到B，$M=4.2kN\cdot m$，$L=750mm$，$G=80GPa$，$J=\frac{\pi d^4}{32}=\frac{\pi\times80^4}{32}=1.2566\times10^7mm^4$，代入公式得$\varphi_{AB}=\frac{4.2\times10^3\times750}{80\times10^3\times1.2566\times10^7}=-0.298^{\circ}$。
- 对于截面B到C，$M=3.0kN\cdot m$，$L=500mm$，$G=80GPa$，$J=\frac{\pi d^4}{32}=\frac{\pi\times50^4}{32}=6.136\times10^6mm^4$，代入公式得$\varphi_{BC}=\frac{3.0\times10^3\times500}{80\times10^3\times6.136\times10^6}=-0.030^{\circ}$。
- 因此，相对扭转角$\varphi_{AC}=\varphi_{AB}+\varphi_{BC}=-0.298^{\circ}-0.030^{\circ}=-0.328^{\circ}$。