题目

3-19 水流经60°渐细弯头AB,如图 3-14 所示,已知A处管径 _(A)=0.5m, B-|||-处管径 _(B)=0.25m, 通过的流量为 .1(m)^3/s, B处压力 _(B)=1.8 大气压。设弯头在-|||-同一水平面上,摩擦力不计,求弯头所受推力为多少?-|||-R-|||-A-|||-p-|||-0-|||-y B-|||-P1

题目解答

答案

解析

考查要点：本题综合考查流体力学中的连续性方程、伯努利方程和动量方程的应用，重点在于处理渐缩弯头的流体流动问题，需结合几何变化和方向改变分析推力。

解题核心思路：

  1. 连续性方程确定A、B两处流速关系；
  2. 伯努利方程计算A处压力；
  3. 动量方程分析弯头受力，需分解压力力和动量变化到坐标轴，最终合成总推力。

破题关键点：

  • 流速比例：管径变化导致流速变化，注意流速与管径平方成反比；
  • 压力计算：利用伯努利方程时需正确代入流速关系；
  • 动量方程应用：压力力的分解和动量变化矢量需严格按坐标方向计算。

1. 计算A、B处流速

根据连续性方程：
$Q = v_A \cdot \frac{\pi D_A^2}{4} = v_B \cdot \frac{\pi D_B^2}{4}$
得流速关系：
$\frac{v_A}{v_B} = \left( \frac{D_B}{D_A} \right)^2 = \left( \frac{0.25}{0.5} \right)^2 = \frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad v_B = 4v_A$

由流量 $Q = 0.1 \, \text{m}^3/\text{s}$，计算 $v_A$：
$v_A = \frac{4Q}{\pi D_A^2} = \frac{4 \times 0.1}{\pi \times 0.5^2} \approx 0.5093 \, \text{m/s}, \quad v_B = 4 \times 0.5093 \approx 2.037 \, \text{m/s}$

2. 应用伯努利方程求A处压力

伯努利方程（无摩擦，水平面）：
$\frac{p_A}{\rho} + \frac{v_A^2}{2g} = \frac{p_B}{\rho} + \frac{v_B^2}{2g}$
代入 $v_B = 4v_A$：
$p_A = p_B + \rho \frac{v_B^2 - v_A^2}{2g} = p_B + \rho \frac{15v_A^2}{2g}$
计算得：
$p_A = 1.8 \times 101325 \, \text{Pa} + 1000 \times \frac{15 \times (0.5093)^2}{2 \times 9.81} \approx 1.82 \, \text{at}$

3. 应用动量方程求推力

x轴方向

压力力分解：

  • A处压力力：$F_{A,x} = -p_A A_A = -p_A \cdot \frac{\pi D_A^2}{4}$
  • B处压力力：$F_{B,x} = -p_B A_B \cos 60^\circ = -p_B \cdot \frac{\pi D_B^2}{4} \cdot \frac{1}{2}$

动量变化：
$\Delta p_x = \rho Q (v_B \cos 60^\circ - v_A)$
总推力分量：
$R_x = F_{A,x} + F_{B,x} + \Delta p_x \approx 30613.1 \, \text{N}$

y轴方向

压力力分解：

  • B处压力力：$F_{B,y} = p_B A_B \sin 60^\circ = p_B \cdot \frac{\pi D_B^2}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

动量变化：
$\Delta p_y = \rho Q (v_B \sin 60^\circ - 0)$
总推力分量：
$R_y = F_{B,y} + \Delta p_y \approx 7671.6 \, \text{N}$

合成总推力

$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \approx 31559.6 \, \text{N}, \quad \theta = \arctan \frac{R_y}{R_x} \approx 14.1^\circ$