题目
对于满足正态分布的测量，真值落在测量最佳值加减一个标准偏差置信区间的概率为 （）%。保留到小数点后1位
对于满足正态分布的测量，真值落在测量最佳值加减一个标准偏差置信区间的概率为 （）%。保留到小数点后1位
题目解答
答案
假设测量值服从正态分布，均值为μ，标准差为σ，测量最佳值为x0
其中，X表示测量值。
化简可得：
因为正态分布是连续分布，所以：
将上面的等式代入原式中，得到：
根据正态分布的标准化，有：
其中，Φ表示标准正态分布的累积分布函数。
将上面的等式代入上式中，得到：
将x0±σ代入上式中，得到：
因为标准正态分布的累积分布函数在x=1和x=-1处的取值分别为0.8413和0.1587，所以：
所以本题填写68.3%
解析
步骤 1：理解正态分布的性质
正态分布是一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线。对于正态分布，均值μ和标准差σ是两个关键参数。正态分布的均值μ表示分布的中心位置，而标准差σ表示数据的离散程度。
步骤 2：确定置信区间
对于正态分布，真值落在测量最佳值加减一个标准偏差的置信区间内，即落在μ-σ到μ+σ的范围内。根据正态分布的性质，这个区间内的概率可以通过标准正态分布的累积分布函数Φ来计算。
步骤 3：计算概率
根据标准正态分布的累积分布函数Φ，可以计算出μ-σ到μ+σ的区间内的概率。具体地，Φ(1)表示标准正态分布的累积分布函数在x=1处的取值，Φ(-1)表示标准正态分布的累积分布函数在x=-1处的取值。因此，μ-σ到μ+σ的区间内的概率为Φ(1)-Φ(-1)。
步骤 4：计算结果
根据标准正态分布的累积分布函数Φ，Φ(1)≈0.8413，Φ(-1)≈0.1587。因此，μ-σ到μ+σ的区间内的概率为Φ(1)-Φ(-1)≈0.8413-0.1587=0.6826。保留到小数点后1位，即为68.3%。
正态分布是一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线。对于正态分布，均值μ和标准差σ是两个关键参数。正态分布的均值μ表示分布的中心位置，而标准差σ表示数据的离散程度。
步骤 2：确定置信区间
对于正态分布，真值落在测量最佳值加减一个标准偏差的置信区间内，即落在μ-σ到μ+σ的范围内。根据正态分布的性质，这个区间内的概率可以通过标准正态分布的累积分布函数Φ来计算。
步骤 3：计算概率
根据标准正态分布的累积分布函数Φ，可以计算出μ-σ到μ+σ的区间内的概率。具体地，Φ(1)表示标准正态分布的累积分布函数在x=1处的取值，Φ(-1)表示标准正态分布的累积分布函数在x=-1处的取值。因此，μ-σ到μ+σ的区间内的概率为Φ(1)-Φ(-1)。
步骤 4：计算结果
根据标准正态分布的累积分布函数Φ，Φ(1)≈0.8413，Φ(-1)≈0.1587。因此，μ-σ到μ+σ的区间内的概率为Φ(1)-Φ(-1)≈0.8413-0.1587=0.6826。保留到小数点后1位，即为68.3%。