题目

7.正态分布-|||-(1)正态曲线-|||-函数 f(x)= __ in R, 其中 mu in R,-|||-sigma gt 0 为参数.-|||-显然对于任意 in R, (x)gt 0, 它的图象在x轴的-|||-上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积-|||-为 __ 我们称f(x)为 __ 称-|||-它的图象为正态分布密度曲线,简称 __ .-|||-(2)正态曲线特点-|||-①曲线是单峰的,它关于直线 __ 对称;-|||-②曲线在 =mu 处达到峰值 __ ;-|||-③当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.-|||-(3)正态分布-|||-若随机变量X的概率密度函数为f(x),则称随机-|||-变量X服从正态分布,记为 sim N(mu ,(sigma )^2), 特别-|||-地,当 mu =0, __ 时,称随机变量X服从标准-|||-正态分布.-|||-(4)正态分布的期望与方差-|||-若 sim N(mu ,(sigma )^2), 则 E(X)= __ D(X)-|||-=__ .-|||-(5)正态变量在三个特殊区间内取值的概率-|||-① (mu -sigma leqslant Xleqslant mu +sigma )approx __ ;-|||-② (mu -20leqslant Xleqslant mu +2sigma )approx __ ;-|||-③ (mu -3sigma leqslant Xleqslant mu +3sigma )approx __-|||-在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ^2)-|||-的随机变量X只取 [ mu -3sigma ,mu +3sigma ] 中的值,这在统-|||-计学中称为3σ原则.

题目解答

答案

解析

本题考查正态分布的基本概念和性质，包括正态密度函数的表达式、正态曲线的特点、标准正态分布的条件、正态分布的期望与方差，以及正态变量在特定区间内的概率值。核心思路是准确记忆正态分布的公式和相关结论，理解其几何意义和实际应用中的经验法则。

第（1）题

  1. 正态密度函数表达式：正态分布的概率密度函数为 $f(x) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$，其中 $\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。
  2. 曲线下面积：概率密度函数的图像与x轴围成的面积恒为1，对应概率的归一性。
  3. 术语定义：该函数称为正态密度函数，其图像是正态曲线。

第（2）题

  1. 对称性：正态曲线关于直线 $x = \mu$ 对称。
  2. 峰值计算：在 $x = \mu$ 处，函数取得最大值 $\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}$。

第（3）题

标准正态分布条件：当 $\mu = 0$ 且 $\sigma = 1$ 时，随机变量服从标准正态分布。

第（4）题

期望与方差：若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $E(X) = \mu$，$D(X) = \sigma^2$。

第（5）题

经验法则：

  1. $\mu \pm \sigma$ 区间概率约为 $68.27\%$（$0.6827$）。
  2. $\mu \pm 2\sigma$ 区间概率约为 $95.45\%$（$0.9545$）。
  3. $\mu \pm 3\sigma$ 区间概率约为 $99.73\%$（$0.9973$）。