题目
例9 设总体X在[a,b]上服从均匀分布,a,b未知.X1,X2,···,Nn是来自X的样-|||-本,求a,b的矩估计量.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算总体X的期望值
由于X在[a,b]上服从均匀分布，其期望值为：
$$E(X) = \frac{a+b}{2}$$
步骤 2：计算总体X的二阶矩
总体X的二阶矩为：
$$E(X^2) = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}x^2dx = \frac{b^3-a^3}{3(b-a)}$$
步骤 3：利用样本矩估计总体矩
设样本均值为$\overline{X}$，样本二阶矩为$A_2$，则有：
$$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$$
$$A_2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2$$
步骤 4：建立方程组求解a,b的矩估计量
根据步骤1和步骤2，建立方程组：
$$\left\{ \begin{array}{l} \frac{a+b}{2} = \overline{X} \\ \frac{b^3-a^3}{3(b-a)} = A_2 \end{array} \right.$$
解方程组，得：
$$\left\{ \begin{array}{l} a = \overline{X} - \sqrt{3(A_2 - \overline{X}^2)} \\ b = \overline{X} + \sqrt{3(A_2 - \overline{X}^2)} \end{array} \right.$$
由于X在[a,b]上服从均匀分布，其期望值为：
$$E(X) = \frac{a+b}{2}$$
步骤 2：计算总体X的二阶矩
总体X的二阶矩为：
$$E(X^2) = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}x^2dx = \frac{b^3-a^3}{3(b-a)}$$
步骤 3：利用样本矩估计总体矩
设样本均值为$\overline{X}$，样本二阶矩为$A_2$，则有：
$$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$$
$$A_2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2$$
步骤 4：建立方程组求解a,b的矩估计量
根据步骤1和步骤2，建立方程组：
$$\left\{ \begin{array}{l} \frac{a+b}{2} = \overline{X} \\ \frac{b^3-a^3}{3(b-a)} = A_2 \end{array} \right.$$
解方程组，得：
$$\left\{ \begin{array}{l} a = \overline{X} - \sqrt{3(A_2 - \overline{X}^2)} \\ b = \overline{X} + \sqrt{3(A_2 - \overline{X}^2)} \end{array} \right.$$