题目

1.单选题1.43 从总体X中抽取样本x_(1),x_(2),...,x_(n),若E(X)=mu,D(X)=sigma^2,下列统计量中是μ的无偏估计量的为（）bigcirc(1)/(n)sum_(i=1)^nx_(i)bigcirc(1)/(n-1)sum_(i=1)^nx_(i)bigcirc(1)/(n-1)sum_(i=1)^n-1x_(i)bigcirc(1)/(n)sum_(i=2)^nx_(i)

1.单选题 1.43 从总体X中抽取样本$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n},$若$E(X)=\mu,D(X)=\sigma^{2},$下列统计量中是μ的无偏估计量的为（） $\bigcirc\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}$ $\bigcirc\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}x_{i}$ $\bigcirc\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}x_{i}$ $\bigcirc\frac{1}{n}\sum_{i=2}^{n}x_{i}$

题目解答

答案

**答案：A** **解析：** - **选项A：** $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$ 期望值为 $E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i\right) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot \mu = \mu$，是无偏估计量。 - **选项B：** $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} x_i$ 期望值为 $\frac{n}{n-1} \mu \neq \mu$，非无偏估计量。 - **选项C：** $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n-1} x_i$ 期望值为 $\mu$，是无偏估计量。 - **选项D：** $\frac{1}{n} \sum_{i=2}^{n} x_i$ 期望值为 $\frac{n-1}{n} \mu \neq \mu$，非无偏估计量。 **答案：A（选项A和C均是无偏估计量，但A更符合常规）**

解析

考查要点：本题主要考查无偏估计量的概念及其应用。关键在于判断每个选项的期望是否等于总体均值$\mu$。

解题核心思路：
无偏估计量的定义是统计量的期望等于被估计的参数。因此，只需计算每个选项的期望，判断其是否等于$\mu$即可。

破题关键点：

  1. 样本均值的无偏性：样本均值$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$的期望为$\mu$，这是最直接的无偏估计量。
  2. 其他选项的修正项：若统计量对样本进行了截取或调整权重（如分母为$n-1$），需重新计算其期望，判断是否偏离$\mu$。

选项分析

选项A：$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$

  • 期望计算：
    $E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(x_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot \mu = \mu$
  • 结论：是$\mu$的无偏估计量。

选项B：$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}x_i$

  • 期望计算：
    $E\left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}x_i\right) = \frac{1}{n-1} \cdot n \cdot \mu = \frac{n}{n-1}\mu \neq \mu$
  • 结论：不是无偏估计量。

选项C：$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}x_i$

  • 期望计算：
    $E\left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}x_i\right) = \frac{1}{n-1} \cdot (n-1) \cdot \mu = \mu$
  • 结论：是$\mu$的无偏估计量。
  • 注意：虽然无偏，但未使用完整样本，实际应用中通常优先选择选项A。

选项D：$\frac{1}{n}\sum_{i=2}^{n}x_i$

  • 期望计算：
    $E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=2}^{n}x_i\right) = \frac{1}{n} \cdot (n-1) \cdot \mu = \frac{n-1}{n}\mu \neq \mu$
  • 结论：不是无偏估计量。