题目
一个未知参数一定有无偏估计A. 对B. 错
一个未知参数一定有无偏估计 A. 对 B. 错
题目解答
答案
我们来分析这个题目：
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**题目：**
一个未知参数一定有无偏估计
A. 对
B. 错
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### 一、理解题意
题目问的是：“一个未知参数**一定**有无偏估计”，也就是说，对于任意一个未知参数，是否**总是存在**一个无偏估计量？
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### 二、相关概念回顾
- **无偏估计量（Unbiased Estimator）**：
如果一个估计量的期望等于被估计的参数，即
$$
\mathbb{E}[\hat{\theta}] = \theta
$$
那么称 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计。
- **未知参数**：通常指总体中我们希望估计的参数，如均值、方差、比例等。
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### 三、分析
我们来思考是否存在某些参数，**不存在无偏估计量**。
#### 举一个经典反例：
考虑一个**离散分布**，设总体 $X$ 的分布如下：
$$
P(X = 0) = \theta,\quad P(X = 1) = 1 - \theta,\quad \text{其中 } \theta \in (0,1)
$$
我们希望估计参数 $\theta$。
现在考虑一个函数 $g(\theta) = \frac{1}{\theta}$，我们问：是否存在一个统计量 $\hat{g}$，使得 $\mathbb{E}[\hat{g}] = \frac{1}{\theta}$？
这个例子中，虽然 $\theta$ 是未知参数，但它的倒数 $\frac{1}{\theta}$ **不存在无偏估计量**，因为期望的线性性质和分布的结构决定了我们无法构造一个统计量，其期望正好等于 $\frac{1}{\theta}$。
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### 四、结论
由于存在某些参数（如 $\frac{1}{\theta}$）**没有无偏估计量**，因此：
> **一个未知参数不一定有无偏估计量。**
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### ✅ 正确答案是：
$$
\boxed{B. 错}
$$
解析
考查要点：本题主要考查对无偏估计概念的理解，以及是否能够判断特定参数是否存在无偏估计。
解题核心思路：
- 无偏估计的定义是估计量的期望等于被估计参数。
- 并非所有未知参数都存在无偏估计，需通过反例说明这一点。
- 关键点在于构造一个无法找到满足期望条件的统计量的参数。
反例分析
假设总体 $X$ 的分布为：
$P(X = 0) = \theta,\quad P(X = 1) = 1 - \theta,\quad \theta \in (0,1)$
我们希望估计参数 $\frac{1}{\theta}$。
无偏估计的条件
若存在无偏估计量 $\hat{g}$，需满足：
$\mathbb{E}[\hat{g}] = \frac{1}{\theta}$
统计量的构造限制
任何统计量 $\hat{g}$ 均基于样本值 $X=0$ 或 $X=1$。
- 当 $X=0$ 时，$\hat{g}$ 的取值可能为 $a$；
- 当 $X=1$ 时，$\hat{g}$ 的取值可能为 $b$。
此时期望为：
$\mathbb{E}[\hat{g}] = a \cdot \theta + b \cdot (1 - \theta)$
无法满足期望条件
要使 $a \cdot \theta + b \cdot (1 - \theta) = \frac{1}{\theta}$，需对任意 $\theta \in (0,1)$ 成立。
但这是不可能的，因为左边是 $\theta$ 的线性函数，而右边是 $\theta$ 的非线性函数（$1/\theta$）。
结论：$\frac{1}{\theta}$ 不存在无偏估计量，说明原命题不成立。